三個槍手的博弈

彼此痛恨的甲、乙、丙三個槍手準備決斗。甲槍法最好，十發八中；乙槍法次之，十發六中；丙槍法最差，十發四中。

先提第一個問題：如果三人同時開槍，并且每人只發一槍；第一輪槍戰后，誰活下來的機會大一些？

一般人認為甲的槍法好，活下來的可能性大一些。但合乎推理的結論是，槍法最糟糕的丙活下來的幾率最大。

我們來分析一下各個槍手的策略。

槍手甲一定要對槍手乙先開槍。因為乙對甲的威脅要比丙對甲的威脅更大，甲應該首先干掉乙，這是甲的最佳策略。

同樣的道理，槍手乙的最佳策略是第一槍瞄準甲。乙一旦將甲干掉，乙和丙進行對決，乙勝算的概率自然大很多。

槍手丙的最佳策略也是先對甲開槍。乙的槍法畢竟比甲差一些，丙先把甲干掉再與乙進行對決，丙的存活概率還是要高一些。

我們計算一下三個槍手在上述情況下的存活幾率：

甲：24％（被乙丙合射40％X60％=24％）

乙：20％（被甲射100％-80％=20％）

丙：100％（無人射丙）

通過概率分析，我們發現槍法最差的丙存活的幾率最大，槍法好于丙的甲和乙的存活幾率遠低于丙的存活幾率。

但是，上面的例子隱含一個假定，那就是甲乙丙三人都清楚地了解對手打槍的命中率。但現實生活中，因為信息不對稱，比如槍手甲偽裝自己，讓槍手乙和丙認為甲的槍法最差，在這種情況下，最終的幸存者一定是甲。所以，無論是歷史，還是現實，那些城府很深的奸雄往往能成為最后的勝利者。這樣的例子，對你的職場生涯或者官場生涯是否很有啟發呢？

我們繼續假定，甲乙丙三人互相不了解對手的槍法水平。在這種情況下，甲被乙射、甲被丙射、甲被乙丙射及甲不被乙丙射的機率各為25％，按貝氏(Bayes)定理計算甲的存活率：　

甲活率：31％（[被乙射：25％X40％=10％]+[被丙射：25％X60％=15％]+[被乙丙射：25％X40％X60％=6％]）。

乙活率：23％（[被甲射：25％X20％=5％]+[被丙射：25％X60％=15％]+[被甲丙射：25％X20％X60％=3％]）。

丙活率：17％（[被甲射：25％X20％=5％]+[被乙射：25％X40％=10％]+[被甲乙射：25％X20％X40％=2％]）。

在槍手互相不知道對手命中率的信息的情況下，這時命中率最高的槍手甲存活的幾率最大，槍法最差的丙存活的可能性最小。

我們現在回到甲乙丙都知道對手命中率的情形，進行第二輪槍戰的分析。

在第一輪槍戰后，丙有可能面對甲，也可能面對乙，甚至同時面對甲與乙，除非第一輪中甲乙皆死。盡管第一輪結束后，丙極有可能獲勝（即甲乙雙亡），但是第二輪開始，丙就一定處于劣勢，因為不論甲或乙，他們的命中率都比丙的命中率為高。

這就是槍手丙的悲哀。能力不行的丙玩些花樣雖然能在第一輪槍戰中暫時獲勝。但是，如果甲乙在第一輪槍戰中沒有雙亡的話，在第二輪槍戰結束后，丙的存活的幾率就一定比甲或乙為低。

第二輪槍戰中甲乙丙存活的幾率粗算如下：

(1)假設甲丙對決：甲的存活率為60％，丙的存活率為20％。

(2)假設乙丙對決：乙的存活率為60％，丙的存活率為40％。

這似乎說明，能力差的人在競爭中耍弄手腕能贏一時，但最終往往不能成事。我們現在用嚴格的概率方法計算一下兩輪槍戰后，甲乙丙各自的存活的幾率。

(1)第一輪：

甲射乙，乙射甲，丙射甲。

甲的活率為24％（40％X60％），乙的活率為20％(100％-80％)，丙的活率為100％（無人射丙）。

(2)第二輪：

情況1：甲活乙死（24％X80％=19.2％）

甲射丙，丙射甲──甲的活率為60％，丙的活率為20％。

情況2：乙活甲死（20％X76％=15.2％）

乙射丙，丙射乙──乙的活率為60％，丙的活率為40％。

情況3：甲乙皆活（24％X20％=4.8％）

重復第一輪。

情況4：甲乙皆死（76％X80％=60.8％）

槍戰結束。

甲的活率為12.672％

(19.2％X60％)+(4.8％X24％)=12.672％

乙的活率為10.08％

(15.2％X60％)+(4.8％X20％)=10.08％

丙的活率為75.52％

(19.2％X20％)+(15.2％X40％)+(4.8％X100％)+(60.8％X100％)=75.52％

通過對兩輪槍戰的詳細概率計算，我們仍然發現槍法最差的丙存活的幾率最大，槍法較好的甲和乙的存活幾率仍遠低于丙的存活幾率。

對于這樣的例子，有人會發出“英雄創造歷史，庸人繁衍子孫”的感嘆。

我們現在改變游戲規則，假定甲乙丙不是同時開槍，而是他們輪流開一槍。在這個例子中，我們發現丙的機會好于他的實力，丙不會被第一槍干掉，并且他可能極有機會在下一輪中先開槍。

先假定開槍的順序是甲、乙、丙，甲一槍將乙干掉后（80％的幾率），就輪到丙開槍，丙有40％的幾率一槍將甲干掉。即使乙躲過甲的第一槍，輪到乙開槍，乙還是會瞄準槍法最好的甲開槍，即使乙這一槍干掉了甲，下一輪仍然是輪到丙開槍。無論是甲或者乙先開槍，乙都有在下一輪先開槍的優勢。

如果是丙先開槍，情況又如何呢？

丙可以向甲先開槍，即使丙打不中甲，甲的最佳策略仍然是向乙開槍。但是，如果丙打中了甲，下一輪可就是乙開槍打丙了。因此，丙的最佳策略是胡亂開一槍，只要丙不打中甲或者乙，在下一輪射擊中他就處于有利的形勢。

我們通過這個例子，可以理解人們在博弈中能否獲勝，不單純取決于他們的實力，更重要的是取決于博弈方實力對比所形成的關系。

在上面的例子中，乙和丙實際上是一種聯盟關系，先把甲干掉，他們的生存幾率都上升了。我們現在來判斷一下，乙和丙之中，誰更有可能背叛，誰更可能忠誠？

任何一個聯盟的成員都會時刻權衡利弊，一旦背叛的好處大于忠誠的好處，聯盟就會破裂。在乙和丙的聯盟中，乙是最忠誠的。這不是因為乙本身具有更加忠誠的品質，而是利益關系使然。只要甲不死，乙的槍口就一定會瞄準甲。但丙就不是這樣了，丙不瞄準甲而胡亂開一槍顯然違背了聯盟關系，丙這樣做的結果，將使乙處于更危險的境地。

合作才能對抗強敵。只有乙丙合作，才能把甲先干掉。如果，乙丙不和，乙或丙單獨對甲都不占優，必然被甲先后解決。

先看赤壁之戰的例子。

那時，曹操勢力最強，孫權次之，劉備最弱。為了抵抗強大的曹操，孫劉兩家只有聯合起來，取勝的幾率才比較大。孫權就相當于前面例子中的乙，是孫劉聯盟中最賣力的成員。在赤壁之戰中，孫權出力最多，劉備實際上沒出多少力。《三國演義》夸大了諸葛亮對赤壁之戰的貢獻，當時孫劉聯軍的統帥實際上是周瑜，周瑜在赤壁之戰的功勞遠大于諸葛亮。

再看蒙古聯合南宋滅金的例子。

當時，蒙古軍事實力最強，金國次之，南宋武力最弱。本來南宋應該和金國結盟，幫助金國抵御蒙古的入侵才是上策，或者至少保持中立。但是，當時的南宋采取了和蒙古結盟的政策。南宋當局先是糊涂地同意了拖雷借道宋地伐金。1231年，蒙古軍隊在宋朝的先遣隊伍引導下，借道四川等地，北度漢水殲滅了金軍有生力量。1233年，南宋軍隊與蒙古軍隊合圍蔡州，金朝最后一個皇帝在城破后死于亂兵，金至此滅亡。1279年，南宋正式亡于蒙古。

如果南宋當政者有戰略眼光，捐棄前嫌，與世仇金結盟對抗最強大的敵人蒙古，宋和金都不至于那么快就先后滅亡了。

競爭中，沒有永遠的敵人。為了自己的利益，要隨時準備同自己以前的對手進行合作以對付更危險的敵人。

爭一時也爭春秋，近視貪利不如宏觀天下。

轉自:http://bbs.asiaci.com/thread-137331-1-1.html