如何用方程式寫春聯

文/ Simbol 1

如何在春節坐在電腦前也很有過年氣氛？尤其是面對著家里還是 Windows XP 的桌電。我翻到了一篇文章，介紹 GrafEq 這套付費但可無限試用且只支持到 Windows XP 和 OS 9.2 的古董級數學繪圖軟件。

我們這就拿它來做一點實驗。

首先打入 x^2+y^2<25。會看到一個半徑為 5 的圓

若想要這個圓方一點，可以打 x^6+y^6<25，不過這就太方了

x^4+y^4<25 倒是剛剛好

現在我想在它身上挖個洞，于是想到要在不等式左邊減掉一個在原點值很大、但是出原點就迅速變小的函數。

例如 1/(x^4+y^4) 就是這樣的函數，它在 x， y 很小的時候有很小的分母、所以函數值很大，但是 x， y 變大之后四次方會讓分母變大得很快，所以函數值就變得微不足道地小。

現在 x^4+y^4+1/(x^4+y^4)<25 的圖案長這樣。

能不能讓洞大一些呢？當然可以，把分子的 1 改成 100 就好

x^4+y^4+100/(x^4+y^4)<25 的圖案長這樣

能不能讓洞只出現在上半部呢？當然也可以，將分母的 y 用 2y-2 取代

現在的式子是：x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4)<25

不過看起來有點勉強啊，畢竟 100/(x^4+ (2y-2)^4) 在左上角和右上角的地方降得不夠快，和正在變大的 x^4+y^4 相加之后，函數值比 25 小的地方顯得有點細（快不見得右上角和左上角）。我們可以從下面這張圖看到在該函數在 x=y 這條線上的行為，因為我們要看沿著斜 45 度角這條線上的筆畫粗細。

我們現在考慮的是 f (x，y)= x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4) 這個函數，要把它畫出來需要三維空間，這里卻只有兩維，不得已只好取函數在 x=y 這條線上面的樣子，于是上圖的縱坐標代表 f(x，y)= x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4) 函數的值，橫坐標則是 x=y 這條線，往左是原圖的左下角往右是原圖的右上角，至于淺淺那條橫線代表不等號右邊的 25，于是在該線下方的函數值對應到被涂黑的部分，該線上方的函數值對應到留白的部分。

當然，縮放過了，你知道如何用 GrafEq 畫出這張圖嗎？

我的答案是

(-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+ (2(x/4)-2)^4))(-5y+25)=0

為了讓那個地方粗一些，我們決定在分母動手腳，讓它在左上角和右上角不要增加太快，方法是讓 y=1 附近的分母變大，例如把分母 x^4+ (2y-2)^4 再加上 (2y-1)^2，這會讓 x=y 上的行為變成

(-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+ (2(x/4)-2)^4+ (2(x/4)-1)^2))(-5y+25)=0

而 x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2)<25 則變成

可愛多了，忍不住想再戳第二個洞

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)<25

一個「日字」就完成了

可以再畫其他筆畫嗎？沒有問題，只要調整 x， y 前面的系數與常數，我們可以在任何位置畫上任意長度
例如 -1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<-100

（知道這三條分別對應到哪一項嗎？）

將上式的左邊放到還沒挖洞的函數里
x^4+y^4-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<25
會發現這三條的粗細和長度都變了，離原點越遠也就是越下面的筆畫就會越細。這是因為離原點越遠的話x^4+y^4 就越大，所以扣掉 XX 分之一之后就越容易超出 25（不等式右式給的邊界），筆畫就縮水了。

話又說回來，這像不像旭日東升呢？

還是說象形字看起來比較有感覺？

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<25

抑或是 x=0 的截面比較有啟發性？

(-50x+y^4+100/((2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/((2y+2)^4+

(2y+1)^2)-1/((y+3)^4)-1/((y+4)^4)-1/((y+5)^4))(-50x+25)=0

下一題：要怎么畫出斜的筆畫？畢竟調常數只會平移圖形，調整系數頂多讓矮胖的變瘦高的，那要怎么調整「角度」呢？

這就要用到所謂「線性變換」的概念了，例如將

         -1/(4(x+4)^4+ ((y+1)/5)^4)<-100

套用變換「 x ? x+y 、 y ? x-y 」會得到

-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)<-100

那么再下一個問題：要怎么畫出彎的筆畫？

這可是再多線性變換都做不到的事，窮途末路的我們回想起圓弧是彎的 (x-19)^2+ (y+12)^2=400 ，所以我們只要設定「到圓弧的距離夠小」，或者說「到圓心的距離界在某兩個數中間」就好了吧！((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2<100

不過等等，這筆一畫下去可就是整個圓了，能不能只取其中一段呢？

我想只靠一個圓大概不夠，那你有沒有試第二個？

((x-4)^2+ (y+5)^2-13)((x-19)^2+ (y+12)^2-400)=0

也許設定「到兩個圓的距離都夠小」會有意外收獲

((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2<100

唉呀，為了把這筆畫整合到本來的圖形里，我們需要把「夠靠近零」的部分放到分母，變成一個「夠大」的條件

-100/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)<-1

（需要看看它的樣子嗎？我猜是不用。）

不過它其實還是有點脆弱，根據努力嘗試的結果，我建議狠下心來將分子分母同時平方四次，這樣該大的才會大 ，該小的才會小。

-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16<-100

（這個圖形和前一個一樣嗎？）（如果不，那它為什么和前一個那么像？）

最后將所有這些東西通通加在一起

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16<25

就得到了：

至于紅色的春聯紙怎么畫呢？我希望字出現在正中間，所以應該要有些平移，我希望它夠尖，所以指數部分應該夠大，我希望它是 45 度的，所以需要線性變換，就決定是你了   (x+y+2)^100+ (x-y-2)^100<7^100

這就是結果啦

最后，就來道規規矩矩的練習題讓大家試試吧：

祝福各位新年快樂！

編按：如果以上這串你有看沒有懂沒關系，為了犒賞你能夠閱讀這篇文章到底，把以下式子貼入 google 搜索，會有意想不到的驚喜哦！

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16-25