王垠：數學和編程

文/王垠

好些人來信問我，要成為一個好的程序員，數學基礎要達到什么樣的程度？十八年前，當我成為大學計算機系新生的時候，也為同樣的問題所困擾。面對 學數學，物理等學科的同學，我感到自卑。經常有人說那些專業的知識更加精華一些，難度更高一些，那些專業的人畢業之后如果做編程工作，水平其實比計算機系 畢業的還要高。直到幾年前深入研究程序語言之后，對這個問題我才得到了答案和解脫。由于好多編程新手遇到同樣的困擾，所以我想在這里把這個問題詳細的闡述 一下。

數學并不是計算機科學的基礎

很多人都錯誤的認為，計算機科學是數學的一個分支，數學是計算機科學的基礎，數學是更加博大精深的科學。這些人以為只要學會了數學，編程的事情全都不在話下，然而事實卻并非如此。

事實其實是這樣的：

• 計算機科學其實根本不是數學，它只不過借用了非常少，非常基礎的數學，比高中數學還要容易一點。所謂“高等數學”，在計算機科學里面基本用不上。
• 計算機是比數學更加基礎的工具，就像紙和筆一樣。計算機可以用來解決數學的問題，也可以用來解決不是數學的問題，比如工程的問題，藝術的問題，經濟的問題，社會的問題等等。
• 計算機科學是完全獨立的學科。學習了數學和物理，并不能代替對計算機科學的學習。你必須針對計算機科學進行學習，才有可能成為好的程序員。
• 數學家所用的語言，比起常見的程序語言（比如C++，Java）來說，其實是非常落后而糟糕的設計。所謂“數學的美感”，其實大部分是夜郎自大。
• 99% 的數學家都寫不出像樣的代碼。

數學是異常糟糕的語言

這并不是危言聳聽。如果你深入研究過程序語言的理論，就會發現其實數學家們使用的那些符號，只不過是一種非常糟糕的程序語言。數學的理論有些是 有用的，然而數學家門用于描述這些理論所用的語言，卻是紛繁復雜，缺乏一致性，可組合性（composability），簡單性，可用性。這也就是為什么 大部分人看到數學就頭痛。這不是他們不夠聰明，而是數學語言的“設計”有問題。人們學習數學的時候，其實只有少部分時間在思考它的精髓，而大部分時間是在折騰它的語法。

舉一個非常簡單的例子。如果你說x^-1表示x的-1 次方（x的倒數），那么f^-1表示什么？f的-1 次方，f的倒數？別被數學老師們的教條和借口欺騙啦，他們總是告訴你：“你應該記住這些！” 可是你想過嗎：“憑什么！” x^-1表示x的-1 次方，而f^-1，明明是一模一樣的形式，表示的卻是函數f的反函數。一個是求冪，一個是反函數，風馬不及，卻寫成一個樣子。這樣的語言設計混淆不堪，卻喜歡以“約定俗成”作為借口。

如果你再多看一些數學書，就會發現這只是數學語言幾百年累積下來的糟粕的冰山一角。數學書里盡是各種上標下標，帶括號的上標下 標，x，y，z，a，b，c，f，g，h，各種扭來扭去的希臘字母，希伯來字母…… 斜體，黑體，花體，雙影體，……用不同的字體來表示不同的“類型”。很多符號的含義，在不同的子領域里面都不一樣。有些人上一門數學課，到最后還沒明白那 些符號是什么意思。

很多人學習微積分都覺得困難，其實問題不在他們，而在于萊布尼茲（Leibniz）。萊布尼茲設計來描述微積分的語言（∫，dx， dy， ...），從現代語言設計的角度來看，其實非常之糟糕，可以說是一塌糊涂。我不能怪萊布尼茲，他畢竟是幾百年前的人了，他不知道我們現在知道的很多東西。 然而古人的設計，現在還不考慮改進，反而當成教條灌輸給學生，那就是不思進取了。

數學的語言不像程序語言，它的歷史太久，沒有經過系統的，考慮周全的，統一的設計。各種數學符號的出現，往往是歷史上某個數學家有天在黑板上隨 手畫出一些古怪的符號，說這代表什么，那代表什么，…… 然后就定下來了。很多數學家只關心自己那塊狹窄的子領域，為自己的理論隨便設計出一套符號，完全不管這些是否跟其它子領域的符號相沖突。這就是為什么不同 的數學子領域里寫出同樣的符號，卻可以表示完全不同的涵義。在這種意義上，數學的語言跟 Perl（一種非常糟糕的程序語言）有些類似。Perl 把各種人需要的各種功能，不加選擇地加進了語言里面，造成語言繁復不堪，甚至連 Perl 的創造者自己都不能理解它所有的功能。

數學的證明，使用的其實也是極其不嚴格的語言——古怪的符號，加上含糊不清，容易誤解的人類語言。如果你知道什么是 Curry-Howard Correspondence 就會明白，其實每一個數學證明都不過是一段代碼。同樣的定理，可以有許多不同版本的證明（代碼）。這些證明有的簡短優雅，有的卻冗長繁復，像面條一樣繞來 繞去，沒法看懂。你經常在數學證明里面看到“未定義的變量”，證明的邏輯也包含著各種隱含知識，思維跳躍，非常難以理解。很多數學證明，從程序的觀點來 看，連編譯都不會通過，就別提運行了。

數學家們往往不在乎證明的優雅性。他們認為只要能證明出定理，你管我的證明簡不簡單，容不容易看懂呢。你越是看不懂，就越是覺得我高深莫測！這 種思潮到了編程的時候就顯出弊端了。數學家寫代碼，往往忽視代碼的優雅性，簡單性，模塊化，可讀性，性能，數據結構等重要因素，認為代碼只要能算出結果就 行。他們把代碼當成跟證明一樣，一次性的東西，所以他們的代碼往往不能滿足實際工程的嚴格要求。

編程是一門藝術

從上面你也許已經明白了，普通程序員使用的編程語言，就算是 C++ 這樣毛病眾多的語言，其實也已經比數學家使用的語言高明很多。計算機科學并不是數學的一個分支，它在很大程度上是優于數學，高于數學的。有些數學的基本理 論可以被計算機科學所用，然而計算機科學并不是數學的一部分。數學在語言方面帶有太多的歷史遺留糟粕，它其實是泥菩薩過河，自身難保，它根本解決不了編程 中遇到的實際問題。

編程真的是一門藝術，因為它符合藝術的各種特征。藝術可以利用科學提供的工具，然而它卻不是科學的一部分，它的地位也并不低于科學。和所有的藝 術一樣，編程能解決科學沒法解決的問題，滿足人們新的需求，開拓新的世界。所以親愛的程序員們，別再為自己不懂很多數學而煩惱了。數學并不能幫助你寫出好 的程序，然而能寫出好程序的人，卻能更好的理解數學。我建議你們先學編程，再去看數學。