和數學家一樣思考的10種方法（前5）

一、質疑一切

在我看來，數學的真正美妙的地方之一在于它可以被檢驗；你不必把任何人的話當做圣經。如果有人給你說一些事情是真的，那你可以讓他證明；最好是，如果你真的想同數學家一樣思考，那你可以嘗試主動證明它。不要等著有人拿勺子喂你；

對于一些人的話，你的反應應該是懷疑，并且試圖去找到一個反例；即便是真的，這種對你的鍛煉也是有益的，同時也能幫助我們對事情的判斷力；（注意，在真實生活場景中過度這么做可能會失去朋友 —  一直挑別人的刺，誰都會不爽）

某報紙的一份來信說時間旅行從邏輯上是不可能的，因為如果時間旅行是可能的，那我們是會看到很多來自未來的人。我有一些想法來反駁這個邏輯：或 許時間旅行只允許我們穿越到過去某點時間（比人類歷史還要長）；或許時間旅行者不允許和我們交流；或許時間旅行有一個范圍，能穿越的時間不超過一年，而時 間旅行在數年后才出現（并且時間旅行的機器不能穿越）。

二、寫下來

寫下來？你可能會問，這跟和數學家一樣思考有個啥關系。是這樣的，語言是由一些論據構建的。高水平數學家的論據都是證明的形式（不僅僅是給出正確的數字答案）

學生通常看不到寫下來的需要；他們常常說：’我來大學不是來寫作文的’，’我已經知道正確答案了’，’你懂的’。他們的作業都是一些沒有關系的 符號堆砌但依然可以獲取高分。但是，如果你想去理解數學并且思路清晰，通過寫的練習可以迫使你對自己的觀點想的更清楚。如果你不能正確的描述，那么很可能 你并不是真正理解了你要表達什么。這是一個可以學習和發展自己技術的很好機會。其實寫的一手好文章在任何領域都是很有用的技術。

[彩蛋：一個提高自己數學寫作和思考的方式是學會恰當的使用隱含符號  =》]

三、試試逆？

語句A=>B是數學的核心，我們可以表述為如果A是真的，那么B就是真的；

A=>B的逆就是B=>A，例如：”如果我是丘吉爾，那我是英國人”的逆是”如果我是英國人，那么我是丘吉爾”；

這個簡單的例子說明了，即便是一個語句是真的，那么其逆可能非真；可能真也可能非真，說之前要搞清楚；

一個好的數學家，當提出一個A隱含B的語句時，通常會思考”其逆為真么？”，把這個問題印到腦子里，作為你和數學打交道的工具；然后，其逆是否為真并不是很重要，關鍵是磨練數學的能力；

[說個題外話，通常人們會犯一個大錯誤，就是當A=>B時，認為如果A非真的，那么B也非真的；這是不對的，這個語句只是在說當A為真是會發生什么，并沒有說A非真時的情況。現在可以像一個數學家一樣思考一下，給一個例子。]

四、試著互逆

一條語句’A => B’ 的互逆是 ‘not B => not A’；

A=>B的互逆命題和自身的真假驚奇的一致！也就是說，如果A=>B是真的，那么not A => not B就是真的，反之亦然。可以驗證一下上面的例子。一開始可能很難在腦子里形成固有概念 – 其實大多數人都不相信；有一個著名的關于互逆的教育實驗，叫做Wason的選擇任務。可以看一看你是否能通過測試，只有不到10%的人通過了；

由于互逆經常用做證明，并且日常推理也經常搞錯，所以你應該掌握。

五、考慮極端情況

面對一個命題，要在少量極端的假設情況下看看；如果需要的參數為0或者1會怎樣？如果把需要的函數定義為f(x)=0會怎樣？數據集為空呢？如果需要的序列為1，1，1，1。。。呢？直線或者圓會有什么結果？

這些例子可以幫我們更深刻的理解，意味著命題可以應用的場景；

考慮一個極端的例子『如果Y=X^2，Z=Y^2，所以Z != X^2』。貌似Y和Y^2一般場景下是真的，但其實不然，比如Y=1，當X=1的條件下；

用一個極端的例子說明下列原理是錯誤的：原理：假設a,b,c,d是正整數，如果ab=cd，a=c，那么b=d；

想給出好的極端例子需要積累，因此需要平時注意收集，用到的時候信手捏來，有一個訓練方法，想象你正在酣睡，突然大半夜有人把你搖醒說：快！給我一個X的好例子，快！X可以是群組、向量、函數等數學對象；

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