金庸人物戰斗力的建模與計算
文/@王漫如
金庸筆下人物武功的強弱，經常被大家拿來討論，這也是因為金庸的小說有兩個得天獨厚的優勢。第一，人物發揮比較穩定。金庸兩次修訂自己的小說， 書里人物的戰斗力有一個相當清晰合理的分級。像第一版《神雕》里的神雕能和金輪法王戰成平手；《倚天》里謝遜一出場，張翠山覺得武當七俠聯手也無法戰勝 他，這些不合理的地方在后面的版本都作了修改。相較之下，古龍溫瑞安筆下人物的戰斗力就比較混亂了。四大名捕的鐵手，在《會京師》里只能和楚相玉（曾敗于 鐵手的師父）走二十五招，在《少年鐵手》里，少年鐵手的內力卻反而超過自己的師父。這樣想要評估鐵手以及楚相玉的戰斗力，就難免顧此失彼，自相矛盾。第 二，金庸的武功便于量化。滅絕師太是用了三成內力，還是七成內力，都從上帝視角說的清清楚楚；兩個人拆了三十招還是五十招也都很明確，這就給評估金庸人物 的戰斗力創造了很好的條件。
但是諸如“五絕的武功在倚天里相比三渡怎么樣”這種問題，每次都會掀起爭論。究其原因，畢竟還是因為沒有一個定量的戰斗力指標，可以用來量化不 同書中人物的戰斗力。鑒于金庸武功有這樣兩個極為便于量化的優勢，本文建立了一種評價人物戰斗力值的數學模型。通過這個模型，可以比較某一人物的所有戰績，對每個人物給出一個可信的戰斗力數字。甚至能依據相同的標桿，跨越不同作品進行人物戰斗力的比較，平息人物之間戰斗力強弱的爭論。
（注：金庸小說前后一共三版。本文所有的戰斗力評估，如果不特別指出，均以第二版為基準。在需要的時候，也可以參考第一版和第三版的內容。）
一、戰斗力數學模型
要建立這樣一個戰斗力的數學模型，必須考慮到金庸人物的這樣一些特點：
1， 招數和內力需要分開考慮。金庸人物中，經常會有一個人不大懂武功招數但是內力超常的情況。這樣的人物，最起碼可以反彈內力不足者的所有攻 擊，比如段譽對宗贊王子；再高一級，則能自動感知物理攻擊，比如張無忌在光明頂躲開何太沖夫婦的“無聲無色”。而到了最高境界，就可以“隨心所欲，無不如 意”，和武功精強的一流高手戰成平手，比如覺遠對何足道，石破天第二次對丁不四。在少數情況下，如果人物內力很弱但招數精妙，一樣可以克敵制勝，比如無內 力的令狐沖對內力全開的任我行，學會辟邪劍法的林平之對余滄海和木高峰，何太沖失去內力時對趙敏的武士。
2， 陣法的加成作用。從最開始碧血劍里的五行陣，到射雕系列中的七星北斗大陣，金剛伏魔圈，武當七俠的真武七截陣，都能夠明顯提升戰斗力。但是這些陣法對戰斗力的提升也各不相同。這些都要在建模里有所反映。
為此，可以建立這樣一個戰斗力的數學模型。每個人物一共有三個參數，分別為“戰斗力”、“內力”和“招式”。戰斗力值是用來衡量人物之間勝負關系的主要參考指標，而這個值，由他的內力值和招式值決定，三者之間的函數關系如下
這個式子看起來有點復雜，實際上就是一個加權平均。如果一個人的內力和招式一樣都是a，那么
也是a。對于大多數人來說，內力和招式一般是成正比的，即內力越強的人招數越強（這個假設很合理，因為一個人內力越強，一般說明他修煉的時間越 久，修煉的功夫更高明，所以招數自然也越精），那么可以認為他們的三個數值是一樣的，可以簡單用一個值a來表示。但是對于一些在招數或內力上有強烈優勢的 人，這個公式就可以用來很好的解釋他的戰績。以覺遠對何足道為例，假設何足道的內力和招式都是 80，他的戰斗力就是 80。覺遠基本不會武功，可以認為他的招式為0。但是他能和何足道基本打個平手，戰斗力也是 80，那么他的內力是：
是何足道的四倍。九陽神功滿級的張無忌和三渡內力之和相當（“張無忌九陽神功之強，不輸 于三僧聯手”），所以同樣九陽神功滿級的覺遠是何足道內力的四倍，是一個很合理的估計。完全沒有內力的令狐沖能和內力全開的任我行打成平手，那么令狐沖的 招式水準也大約為任我行的四倍。考慮到獨孤九劍是一種“敵強愈強”的武功，這個估計也是合理的。
二、內力取值的計算
模型建立之后，人物的具體戰斗力值怎么確定呢？這個需要通過人物互相之間的戰績來決定。首先討論對內力值的估計：
用A和B代表兩個對手。假設A被B擊中，在金庸的書中會有一些代表性的反應。在其中一些情節中，又能給出兩人內力的一個典型比例關系，可以作為內力評估的參照。
1)A被B擊中，只是一陣劇痛，但沒有受傷。
一個典型戰例是張無忌和三渡的交手中，張無忌被三渡之一擊中。考慮到張無忌的內力等于三人之和，則B≈ 0.33A（注意到三渡的實力是有差別的。但是這里的區間是一個近似估計，而且可以想象，不論三渡中的哪一位打中張無忌，效果都相差不大）。
2)A被B擊中，嘔血受傷，但不致命。
這個有幾次出現。一次是滅絕師太用七成功力打飛張無忌，張無忌重傷嘔血。考慮到之前張無忌震飛靜玄的時候，滅絕師太暗暗吃驚，想自己也沒這樣的 功力。那么假設張無忌內力是滅絕師太的 1.5 倍，滅絕師太用三成功力將張無忌打至吐血，那就是1/1.5*0.3= 0.2 倍張無忌的內力。這個值低于前面推出的 0.33 的閾值。但考慮到張無忌當時對內力的運用還不太成熟，而滅絕師太則極為老辣，所以這一掌的效果比正常情況下更突出。因此，A嘔血受傷的下限應該是 0.33A< B。然后再考慮上限。有一個例子是《俠客行》里白自在和丁不四交手，一掌將丁不四打吐血。白自在的內力明顯強于丁不四，就算是 1.5 倍丁不四。
綜上，這種情況下 0.33A < B < 1.5A
3)A被B擊中致命。
比如梅超風被歐陽鋒擊中的情況。這種情況下至少有B>1.5A。
4)A完全反彈B的攻擊
考慮到1）的情況，B <0.33A. 但是這個條件還不夠。張無忌在光明頂上對空性，心想“恐怕無法不動聲色地令空性知難而退”。空性的內力應當略低于三渡。如果張無忌 能完全反彈空性的攻擊，就沒必要打的這么辛苦，所以反彈攻擊的上限應該會再低一些。假設空性有 80% 三渡的內力，那就是 80%*33.3% = 26.7%，那么完全反彈攻擊，應該是 20% 左右。
綜上，這種情況下 B < 0.2A
5)A和B対掌平手。
這個很顯然 A ≈ B.
6)A和B対掌，A倒退1-3 步。
這里有一個很有意思的例子。在武當山上張無忌和阿二対掌，最開始兩人都晃了一晃，然后阿二分別退出一步和三步，最后完全被張無忌彈飛。如果單看 張無忌完全反彈阿二的攻擊，豈不是說阿二內力= 0.2 張無忌內力？但注意到阿二被彈飛是張無忌運了半天氣的結果。本文中說的內力，是指人物所擁有的內力，也指他一擊能夠打出的內力，這兩者一般成正比。但張無 忌蓄力之后，再加上乾坤大挪移的潛力，可以一次迸發出更大內力。假設他的內力是阿二的x倍，而全力一擊的力量可以認為是 x2，這個內力值完全反彈阿二的內力。那么1/x2 ≈ 0.2，阿二內力 ≈ 0.45 張無忌，甚至已經超過了三渡的內力，確實厲害。所以張三豐對阿二的評價也是“內力渾厚，武林中甚是罕見”。
說了這么多，其實只是想說明張無忌和阿二対掌，除了最后一擊外，阿二倒退1-3 步，“感到氣血翻涌”，才是兩人內力比例下正常的反應。綜上，在這種情況下，0.45B< A < B.
7)A和B対掌，A倒退多于三步，或受傷嘔血。
這種情況下B的內力應當低于“対掌倒退”的情況，即 0.45B> A。
綜上，可以整理出兩人內力關系如下表所示：
由此，金庸書中所有包含內力比拼的情節，均可以根據上表估計出交手人物之間的內力關系。
三、戰斗力與交手回合數的關系
上面推算了內力值的計算方法。內力是戰斗力值的一部分。兩個人交手的戰績，除了硬拼內力的情況外，都由他們總的戰斗力值決定。而反應其戰斗力值最直接的參數就是兩人的交手回合數。這里采用雙曲正切函數 tanh，建立戰斗力值與交手回合數的關系如下：
實力比 =tanh (0.02*x)
X 是兩人的交手回合數。這個函數的圖畫出來就是下面這樣。橫軸表示兩人交手回合數x，縱軸表示戰斗力的比值。例如A在 50 回合時被B擊敗，由圖上可知，A的戰斗力約為B的 0.76。
有了這樣的函數，就能直接推算很多人之間戰斗力的比值，例如：
如果A能在 3 招內擊敗B，那么B的實力大約為A的 0.06；
丁不四第一次和石破天交手，覺得二十招擊敗他有點困難，說明他預估石破天的實力不低于他的 0.4 倍；
射雕后期郭靖和歐陽鋒交手三十余招被擊敗。但考慮到郭靖領悟“飛絮勁”后，馬上將回合數提升至五十余招，所以他那時的實力大約是歐陽鋒的 0.76。華山論劍時，黃藥師和洪七公與郭靖交手，都保留了實力。但根據洪七公所想“如果在一百招之內擊敗靖兒，黃老邪面上須不好看”，說明他有一百招內 擊敗郭靖的實力（當然，郭靖當時手拿兵刃，戰斗力反而有所下降），可見當時郭靖的實力大約相當于 0.9-0.95 的黃藥師和洪七公；
張無忌在大都對空手的鹿杖客鶴筆翁，三十招便擊敗了兩人。所以兩人空手戰力之和，是張無忌的 0.6 左右（下一節會說明如何計算兩人戰力之和）；
從圖上看，如果兩人交手超過 150 招未分勝負，說明兩人實力基本相當。
以上推算出的戰斗力比值，和我們的直觀印象是相符的，說明了本文所提出的雙曲正切函數模型的有效性。
四，聯手戰斗的戰斗力計算與陣法加成
一般戰斗力計算的文章都認為，幾個人聯手作戰的戰斗力，等于其各自的戰斗之和。這個算法對內力是可行的，即內力可以進行線性疊加。但如果據此計 算人物的戰斗力會帶來很大問題！比如黃藥師和全真七子的天罡北斗陣打成平手。就算不考慮陣法的加成效果，這七位老道的平均實力最多只有 0.14 黃藥師。考慮到丘處機、馬鈺、王處一的實力比其他人都強，那么武功最弱的孫不二豈不是遠低于 0.14？再加上陣法加成的效應，堂堂全真七子之一的孫不二的實力只有雜魚程度，豈不是很不合理？
因此，本文大膽提出一個假設。在沒有陣法的情況下，聯手作戰的戰斗力由以下式子決定：
這個式子的意思是，聯合戰斗力，等于每個參展者戰斗力平方之和再開根號，實際上就是一個2-范數。舉例來說，戰斗力 30 和 40 的人聯手，其聯合戰斗力不是 70，而是 50，低于他們戰斗力的直接加和。又比如，如果張無忌的戰斗力是 100，按照前面的推算，鹿杖客鶴筆翁的空手戰斗力約為 60，那么他們每人的單獨實力約為 42，也符合我們的直觀印象（注意前面推出阿二的內力為 45。但是他的招數未必也有這么強，所以總的實力應該會低于鶴鹿二人）。
這個算法很好的解決了前面提到的戰斗力問題。但是最妙的地方在于，這個定義還有助于計算陣法的加成效應。我們先來考察一下武當七俠的“真武七截 陣”。書里寫道，武當七俠如果使用這個陣法，“四人相當于八位高手，五人相當于十六位，六人相當于三十二位，七人相當于六十四位當世一流高手同時出手”。 這種實力指數增長的陣法，堪稱金書中的最強陣法，甚至強的很不合理。但是按照本文的公式來推算，假設每位“當世一流高手”的戰斗力是1，武當七俠每人戰斗 力也是1。那么六十四位當世一流高手同時出手的戰斗力是多少呢？——是8！不是 64。和武當七俠戰斗力之和基本相當。這就意味著真武七截陣將武當七俠的聯合戰斗力，從2-范數增長為接近線性加和。這樣就很合理了。
鑒于真武七截陣堪稱金庸書中的最強陣法，那么其他陣法的加成作用應當小于等于真武七截陣，但是大于無陣法時的聯手作戰。所以像天罡北斗陣一類陣法，均可以由此進行推算。
五，總結
本文基于嚴格的數學推導，提出了完整的金庸人物武功的建模方式。在這個武功模型下，只要建立一個標桿（比如設學會太極拳后的張無忌招數內力均為 100），理論上就可以計算出所有人物的戰斗力值。計算的方式有（但不限于）以下兩種：
1，按照第二部分的方法，推算出人物內力值，再根據“招式值和內力值相當”得出人物整體的戰斗力；
2，按照第三部分的方法，通過人物交手回合數，直接推算出戰斗力值。
金庸里人物極為繁多，如果想推算出所有人的戰斗力值，其工作量大概相當于完成一篇博士論文。鑒于筆者已經不想再寫博士論文，所以這里只提模型，不再做進一步具體計算。
有一些問題有待進一步討論：
1， 是否使用武器對戰斗力的影響。雖然《射雕英雄傳》里寫過，武功到了極高境界，有無兵器差別不大，但絕大多數時候，兵器能提升人物的戰斗力。為避免復雜，在計算每個人物戰斗力的時候，最好只算他的巔峰戰斗力，而不用區別他有兵器和沒兵器時的戰斗力。
2， 戰斗力隨年齡的變化。這個問題在射雕系列中比較突出。理論上講，射雕里的五絕隨時間推移，功力會有提高，但他們在神雕后期都接近百歲， “年老力衰”，戰斗力又會下降。但是鑒于百歲周伯通仍然能和楊過酣戰上百招，七十歲左右的金輪法王戰斗力仍然處在巔峰，所以在計算的時候，或許可以做簡化 處理，認為某個人物的武功練到巔峰之后，就不再隨年齡的變化而變化。
3， 不同書中人物戰斗力的橫向比較。這個問題比較困難，特別是對兩部完全不相干的書，但是仍然有蛛絲馬跡可循。可能是兩部書的人物做了類似的 行為，比如蕭峰和覺遠都用腳擦去石上的痕跡。也可以通過數學上進行計算，比如胡斐力量的極限是抱起七百斤的水缸，而張無忌可以消解十層高塔上跳下來的人。 如果計算一下他們使力大小，應該可以得出兩人的內力之比。而一旦兩部書中有一對人物建立了上述聯系，則這兩本書中其他所有人物，都可以由本文的模型推算出 統一的戰斗力數值。