困擾數學家90年的猜想，被計算機搜索30分鐘解決了
數學家會代碼，就連困擾人類 90 年的數學猜想也擋不住。
來自斯坦福、CMU 等高校的 4 名數學家，直接將一個數學難題轉化成了對10 億個結果進行“暴力搜索”。
△ 論文作者之一 CMU 助理教授 Marijn Heule
他們把這串代碼輸入40 臺電腦組成的計算集群，30 分鐘后，計算機給出了一個200GB大小的證明結果：
凱勒猜想在不超過 7 維的空間上都是正確的。
現在，任何人都可以去GitHub上克隆這串代碼，驗證這一數學定理。
比較反轉的是，這段獲得計算機學術會議IJCAR（國際自動推理聯合會議）最佳論文獎的程序，上線 GitHub 半年，只攬獲了一顆星。
那么，這 4 位數學家要證明的“凱勒猜想”到底是什么？為何非要用計算機來證明？計算機證明的結果可靠嗎？
下面讓我們一一道來。
什么是凱勒猜想
假如用一批完全相同的正方形瓷磚鋪滿地面，中間不留空隙。顯然，瓷磚之間會共用一條邊，如下圖藍線所示：
在 3 維空間中，如果要用立方體占滿空間，是不是也和 2 維空間類似呢？
想象一下，如果像下圖那樣在空間中隨便放入幾個立方體，由此展開填滿整個空間，那么唯一的辦法就是讓接上的立方體共用藍色的面。
2 維、3 維皆如此，更高維度的空間會怎樣？
1930 年，德國數學家凱勒猜測，如果用n維立方體填滿無限空間，則立方體之間必然會出現“面對面”，對于任意維度都成立。
這便是凱勒猜想。
但數學猜想不能僅靠直覺，必須有嚴格的證明。90 年來，數學家一直不懈努力。
1940 年，數學家 Perron 證明了凱勒猜想在 1 到 6 維空間是正確的。
1992 年，另外兩位數學家 Lagarias 和 Shor 證明，凱勒猜想在 10 維空間上是錯誤的。
（注：這位 Shor 就是那個提出用量子計算機求解質因數分解的Shor 算法的數學家。）
非常不幸，凱勒猜想竟然是錯的！然而問題并沒有到此結束。
還有 3 個維度沒有解決呢！在 7 維、8 維、9 維三個維度空間中，凱勒猜想是否成立？
只要解決這三個維度，纏繞數學家幾十年的問題就徹底搞定了。
數學論證表明，如果凱勒猜想在n維空間上是錯的，那么它在比n更高的維度上也一定是錯的。
2002 年，數學家 Mackey 已證明，凱勒猜想在 8 維空間不成立，因此在 9 維空間也不成立。
至此，7 維空間成為唯一的難題。
△ 證明 8 維空間凱勒猜想錯誤的 CMU 教授 Mackey
證明方法的改進
可能你已經發現，從上世紀 90 年代以來，凱勒猜想的證明速度大大加快，數學家只用了 10 年時間就把問題縮小到三個維度。
這主要得益于兩位數學家的貢獻。
當年，Perron 求解 1 到 6 維時，沒有特殊的捷徑。而到 1990 年，凱勒猜想的證明方法發生了巨大的變化。
數學家 Corrádi 和 Szabó提出了一種新的思路，把原來無限空間的問題變成有限的、離散的問題，也讓計算機解決凱勒猜想成為可能。
他們巧妙地把凱勒猜想變成了圖論問題，就是構造所謂的凱勒圖（Keller Graph），而圖論正是計算機所擅長的。
在這種方法的指導下，Lagarias 和 Shor 兩人很快在 2 年后就證明了 10 維空間的情況：凱勒猜想不成立。又過了 10 年，Mackey 證明，凱勒猜想在 8 維空間不成立。
那么，凱勒圖究竟是什么，它為什么能夠加速凱勒猜想的證明？
構造“凱勒圖”
首先，我們從最簡單的 2 維情況說起。
現在，我們有一種牌，牌上畫著兩個有顏色的點。兩個點是有順序的，不能調換。比如，1 黑 2 白≠1 白 2 黑。
兩個點總共可以涂 4 種顏色，顏色分成 2 對：紅色對綠色、白色對黑色。
數學家已經證明，分配給點的顏色相當于正方形在空間中的坐標。兩張牌的顏色是否配對表示兩個正方形的相對位置。
點的顏色與正方形的具體關系是這樣的：
1、兩對點完全相同，表示兩個正方形完全重疊
2、兩對點顏色都不同，且顏色都不配對，表示兩個正方形有部分重疊
3、一對點顏色相同，另一對點顏色配對，表示兩個正方形共用一個邊
4、一對點顏色不同，另一對點顏色配對，表示兩個正方形的邊相互接觸但不重合
2 個點的凱勒圖，要用 2 對顏色去填充牌面，總共有 16 種情況。
然后我們把這 16 張牌擺在桌上，只有符合前面條件4的兩張牌，才用線將二者連起來。這樣就構成了一張“凱勒圖”。
包含 16 張牌的凱勒圖就描繪了正方形填補平面的所有可能。
如果 2 維空間中凱勒猜想不成立，那么我們肯定能找到 4 個正方形，它們之間沒有共用的邊，但是能夠無縫隙填在一起。然后在屏幕上無限復制這 4 個正方形，就能填滿整個屏幕。
實際上并不可能。如果按此操作，只會得到有著無數孔隙（下圖紫色部分）的填充方式。
對應到凱勒圖中，就是找在圖中找到 4 張牌，它們兩兩之間都有連線。（在數學里，這叫做完全圖。）
顯然，在 2 維問題的凱勒圖中，我們找不到這樣的 4 張牌。（可以自己去上面的凱勒圖中找找看。）
這樣，我們把就把n維立方體以及位移s與牌的點數n、顏色對數s聯系起來。
作為更一般的規則，如果要證明n維凱勒猜想是錯的，就要在對應的凱勒圖中找到2n張牌，且這些牌兩兩相連。
正因為你找不到 4 個張牌組成的完全圖，所以 2 維空間的凱勒猜想是對的。
為了在 3 維空間中證明凱勒猜想，可以使用 216 張牌，每張牌上 3 個點，并可以使用 3 對顏色（這一點相對靈活）。然后，我們需要尋找23=8 張牌 ，它們兩兩之間都有連線，但還是找不到。
到了 8 維空間中，我們總算可以找到符合條件的 256 張牌，所以 8 維空間的凱勒猜想是錯的。
△8 維空間中的一個反例（一個凱勒圖的完全子圖）
接下來的事情就是在 7 維空間對應的凱勒圖上尋找完全子圖。然而這個問題卻從 8 維問題解決后被擱置了 17 年。
根據前面的說明，求解 8 維空間和 10 維空間的凱勒猜想，要尋找28=256 和210=1024 張牌的子圖，而 7 維空間只要尋找27=128 張牌的子圖。
后者的難度似乎更小，7 維空間的問題應該更簡單啊！其實不然。
因為，從某種意義上說，8 維和 10 維可以“分解”為容易計算的較低維度，但 7 維不行。
證明了 10 維情況的 Lagarias 說：“7 維不好，因為它是質數，這意味著你無法將其分解為低維。因此別無選擇，只能處理這些圖的全部組合。”
對于人腦來說，尋找大小為 128 的子圖是一項艱巨的任務，但這恰恰是計算機擅長回答的問題。
計算機幫忙
說干就干，此前證明 8 維問題的 CMU 教授 Mackey 拉上了斯坦福的數學在讀博士 Brakensiek 和專長計算機輔助證明的助理教授 Heule。
回憶起立項的那天，Mackey 說，Brakensiek 是真正的天才，看著他就像看著 NBA 總決賽里的詹姆斯。Brakensiek 本人確實很厲害，他曾是 2013/14 兩屆國際信息學奧賽金牌得主。
△ 論文第一作者 Brakensiek
言歸正傳。為了方便計算機求解，他們換了個方向來思考：
先設定牌上有 7 個點、6 種可能的顏色，按照前面的“條件4”對這些牌上色，看看能不能找到 128 種不同的填色方法。如果找不到，那么凱勒猜想成立。
用計算機輔助證明數學問題，還需要把它變成一系列邏輯運算，也就是處理 01 之間的與或非關系。
若要求解 7 維，則總共包含 39000 個不同布爾變量（0 或1），有239000種可能性，這是一個非常非常大的數字，有 11741 位數。
△2 的 39000 次方（來自 Wolfram Alpha 運算結果）
一臺普通電腦只能處理 324 位數種可能，離解決問題還遠得很。就算交給超級計算機也不夠。
但是，這幾位數學家想到了排除法，只要得到結論，而不必實際檢查所有可能性。效率才是王道！
比如，用計算機規則給 128 張牌上色，當你涂到第 12 張牌的時候，發現找不到符合條件的下一張牌了。那么所有包含這 12 張牌的排列都可以排除。
提升效率的另一種方式是利用對稱性。如果已經驗證了某種排列不可能，那與之對稱的所有情況都可以排除。
通過這兩種方法，他們把搜索空間縮小到 10 億（230）。這樣一來，用計算機搜索變成了可能。
最終，他們僅計算了半個小時，便有了答案。
計算機沒有找到符合條件的 128 張牌，所以 7 維空間的凱勒猜想確實成立。
實際上，計算機提供的不僅僅是一個答案，證明的內容多達200GB。4 位論文作者將證明送入計算機的證明檢查器，確認了它的可靠性。
解決了凱勒猜想后，Heule 的下一個目標是用計算機證明數學里“最簡單的不可能問題”——3n+1 猜想，去年陶哲軒已經“幾乎”解決了這個問題，現在可能只差一步之遙了。
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/computer-search-settles-90-year-old-math-problem-20200819/
https://www.cs.cmu.edu/~mheule/Keller/
https://mathworld.wolfram.com/KellerGraph.html
論文地址：
https://arxiv.org/abs/1910.03740
源代碼：
https://github.com/marijnheule/Keller-encode
— 完 —