EM算法概述

最大期望算法（Expectation Maximization Algorithm，又譯期望最大化算法），是一種迭代算法，用于含有隱變量（hidden variable）的概率參數模型的最大似然估計或極大后驗概率估計。

在統計計算中，最大期望（EM）算法是在概率（probabilistic）模型中尋找參數最大似然估計或者最大后驗估計的算法，其中概率模型依賴 于無法觀測的隱藏變量（Latent Variable）。最大期望經常用在機器學習和計算機視覺的數據聚類（Data Clustering）領域。
最大期望算法經過兩個步驟交替進行計算：

第一步是計算期望（E），利用對隱藏變量的現有估計值，計算其最大似然估計值；

第二步是最大化（M），最大化在 E 步上求得的最大似然值來計算參數的值。

M 步上找到的參數估計值被用于下一個 E 步計算中，這個過程不斷交替進行。

總體來說，EM的算法流程如下：

1.初始化分布參數

2.重復直到收斂：

E步驟：估計未知參數的期望值，給出當前的參數估計。

M步驟：重新估計分布參數，以使得數據的似然性最大，給出未知變量的期望估計。

EM算法簡述

迭代使用EM步驟，直至收斂。

可以有一些比較形象的比喻說法把這個算法講清楚。比如說食堂的大師傅炒了一份菜，要等分成兩份給兩個人吃，顯然沒有必要拿來天平一點一點的精確的去 稱分量，最簡單的辦法是先隨意的把菜分到兩個碗中，然后觀察是否一樣多，把比較多的那一份取出一點放到另一個碗中，這個過程一直迭代地執行下去，直到大家 看不出兩個碗所容納的菜有什么分量上的不同為止。EM算法就是這樣，假設我們估計知道A和B兩個參數，在開始狀態下二者都是未知的，并且知道了A的信息就 可以得到B的信息，反過來知道了B也就得到了A。可以考慮首先賦予A某種初值，以此得到B的估計值，然后從B的當前值出發，重新估計A的取值，這個過程一 直持續到收斂為止。

EM 算法是 Dempster，Laind，Rubin 于 1977 年提出的求參數極大似然估計的一種方法，它可以從非完整數據集中對參數進行 MLE 估計，是一種非常簡單實用的學習算法。這種方法可以廣泛地應用于處理缺損數據，截尾數據，帶有噪聲等所謂的不完全數據(incomplete data)。

假定集合Z = (X,Y)由觀測數據 X 和未觀測數據Y 組成，X 和Z = (X,Y)分別稱為不完整數據和完整數據。假設Z的聯合概率密度被參數化地定義為P(X,Y|Θ)，其中Θ表示要被估計的參數。Θ的最大似然估計是求不完 整數據的對數似然函數L(X;Θ)的最大值而得到的：

L(Θ;X)= log p(X|Θ) = ∫log p(X,Y|Θ)dY ；

EM算法包括兩個步驟：由E步和M步組成，它是通過迭代地最大化完整數據的對數似然函數Lc(X;Θ)的期望來最大化不完整數據的對數似然函數，其中：

Lc(X;Θ) =log p(X,Y |Θ) ；

假設在算法第t次迭代后Θ獲得的估計記為Θ(t) ，則在(t+1)次迭代時，

E-步：計算完整數據的對數似然函數的期望，記為：

Q(Θ|Θ (t)) = E{Lc(Θ;Z)|X;Θ(t)}；

M-步：通過最大化Q(Θ|Θ(t) ) 來獲得新的Θ 。

通過交替使用這兩個步驟，EM算法逐步改進模型的參數，使參數和訓練樣本的似然概率逐漸增大，最后終止于一個極大點。直觀地理解EM算法，它也可被 看作為一個逐次逼近算法：事先并不知道模型的參數，可以隨機的選擇一套參數或者事先粗略地給定某個初始參數λ0 ，確定出對應于這組參數的最可能的狀態，計算每個訓練樣本的可能結果的概率，在當前的狀態下再由樣本對參數修正，重新估計參數λ，并在新的參數下重新確定 模型的狀態，這樣，通過多次的迭代，循環直至某個收斂條件滿足為止，就可以使得模型的參數逐漸逼近真實參數。

EM算法的主要目的是提供一個簡單的迭代算法計算后驗密度函數，它的最大優點是簡單和穩定，但容易陷入局部最優。

End.