五大常用算法之四：回溯算法

1、概念

回溯算法實際上一個類似枚舉的搜索嘗試過程，主要是在搜索嘗試過程中尋找問題的解，當發現已不滿足求解條件時，就“回溯”返回，嘗試別的路徑。

回溯法是一種選優搜索法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇并不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術為回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為“回溯點”。

許多復雜的，規模較大的問題都可以使用回溯法，有“通用解題方法”的美稱。

2、基本思想

在包含問題的所有解的解空間樹中，按照深度優先搜索的策略，從根結點出發深度探索解空間樹。當探索到某一結點時，要先判斷該結點是否包含問題的解，如果包含，就從該結點出發繼續探索下去，如果該結點不包含問題的解，則逐層向其祖先結點回溯。（其實回溯法就是對隱式圖的深度優先搜索算法）。

若用回溯法求問題的所有解時，要回溯到根，且根結點的所有可行的子樹都要已被搜索遍才結束。

而若使用回溯法求任一個解時，只要搜索到問題的一個解就可以結束。

3、用回溯法解題的一般步驟：

（1）針對所給問題，確定問題的解空間：

首先應明確定義問題的解空間，問題的解空間應至少包含問題的一個（最優）解。

（2）確定結點的擴展搜索規則

（3）以深度優先方式搜索解空間，并在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。

4、算法框架

（1）問題框架

設問題的解是一個n維向量(a1,a2,………,an),約束條件是ai(i=1,2,3,…..,n)之間滿足某種條件，記為f(ai)。

（2）非遞歸回溯框架

int a[n],
i;初始化數組a[];
i = 1;
while (i > 0(有路可走) and(未達到目標)) // 還未回溯到頭
{
    if (i > n) // 搜索到葉結點
    {搜索到一個解，輸出；
    } else // 處理第i個元素
    {
        a[i]第一個可能的值；
        while (a[i]在不滿足約束條件且在搜索空間內) {
            a[i]下一個可能的值；
        }
        if (a[i]在搜索空間內) {
            19 : 標識占用的資源；20 : i = i + 1; // 擴展下一個結點  21:          }  22:          else  23:         {
            清理所占的狀態空間； // 回溯25:               i = i –1; 
        }
    }

（3）遞歸的算法框架

回溯法是對解空間的深度優先搜索，在一般情況下使用遞歸函數來實現回溯法比較簡單，其中i為搜索的深度，框架如下：

int a[n];
    try(int i)
    {
        if(i>n)
           輸出結果;
         else
        {
           for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚舉i所有可能的路徑
           {
              if(fun(j))                 // 滿足限界函數和約束條件
                {
                   a[i] = j;
                ...                         // 其他操作
                   try(i+1);
                 回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;
                 }
            }
        }
   }