K近鄰算法基礎：KD樹的操作

Kd-樹概念

Kd-樹 其實是K-dimension tree的縮寫，是對數據點在k維空間中劃分的一種數據結構。其實，Kd-樹是一種平衡二叉樹。

舉一示例：

假設有六個二維數據點 = {（2,3），（5,4），（9,6），（4,7），（8,1），（7,2）}，數據點位于二維空間中。為了能有效的找到最近鄰，Kd-樹采用分而治之的思想，即將整個空間劃分為幾個小部分。六個二維數據點生成的Kd-樹的圖為：
                 

                2D 對應的kd的平面劃分                                3D 對應的kd的平面劃分

k-d樹算法可以分為兩大部分，一部分是有關k-d樹本身這種數據結構建立的算法，另一部分是在建立的k-d樹上如何進行最鄰近查找的算法。

一 Kd-樹的構建

Kd-樹是一個二叉樹，每個節點表示的是一個空間范圍。下表表示的是Kd-樹中每個節點中主要包含的數據結構。

Range域表示的是節點包含的空間范圍。

Node-data域就是數據集中的某一個n維數據點。分割超面是通過數據點Node-Data并垂直于軸split的平面，分割超面將整個空間分割成兩個子空間。

令split域的值為i，如果空間Range中某個數據點的第i維數據小于Node-Data[i]，那么，它就屬于該節點空間的左子空間，否則就屬于右子空間。

Left，Right域分別表示由左子空間和右子空間空的數據點構成的Kd-樹。

構建k-d樹的算法實現
算法：構建k-d樹（createKDTree）

輸入：數據點集Data-set和其所在的空間Range
輸出：Kd，類型為k-d tree
1、If Data-set為空，則返回空的k-d tree
2、調用節點生成程序：
（1）確定split域：對于所有描述子數據（特征矢量），統計它們在每個維上的數據方差。以SURF特征為例，描述子為64維，可計算64個方差。挑選出最大值，對應的維就是split域的值。數據方差大表明沿該坐標軸方向上的數據分散得比較開，在這個方向上進行數據分割有較好的分辨率；
（2）確定Node-data域：數據點集Data-set按其第split域的值排序。位于正中間的那個數據點被選為Node-data。此時新的Data-set' = Data-set\Node-data（除去其中Node-data這一點）。
3、dataleft = {d屬于Data-set' && d[split] ≤ Node-data[split]}
Left_Range = {Range && dataleft} dataright = {d屬于Data-set' && d[split] > Node-data[split]}
Right_Range = {Range && dataright}
4.、eft = 由（dataleft，Left_Range）建立的k-d tree，即遞歸調用createKDTree（dataleft，Left_
Range）。并設置left的parent域為Kd；
right = 由（dataright，Right_Range）建立的k-d tree，即調用createKDTree（dataright，Right_
Range）。并設置right的parent域為Kd。

構建k-d樹算法舉例

從上述舉的實例來看，過程如下：
（1）確定：split 域=x，6個數據點在x,y 維度上的數據方差為39,28.63.在x軸方向上的方差大，所以split域值為x。

（2）確定：Node-Data=（7,2），根據x維上的值將數據排序，6個數據的中值為7，所以node-data域為數據點（7,2）。這樣該節點的分割超面就是通過（7,2）并垂直于：split=x軸的直線x=7.

  (3)   確定：左子空間和右子空間，分割超面x=7將整個空間分為兩部分。x<=7 為左子空間，包含節點（2,3），（5,4），（4，7），另一部分為右子空間。包含節點（9,6），（8,1）

這個構建過程是一個遞歸過程。重復上述過程，直至只包含一個節點。

如算法所述，k-d樹的構建是一個遞歸的過程。然后對左子空間和右子空間內的數據重復根節點的過程就可以得到下一級子節點（5,4）和（9,6）（也就是左右子空間的'根'節點），同時將空間和數據集進一步細分。如此反復直到空間中只包含一個數據點，如圖1所示。最后生成的k-d樹如圖2所示。

                             圖1                                                                                                圖2

二、構建完kd樹之后，如今進行最近鄰搜索呢？

KD樹的查找算法：

在k-d樹中進行數據的查找也是特征匹配的重要環節，其目的是檢索在k-d樹中與查詢點距離最近的數據點。

這里先以一個簡單的實例來描述最鄰近查找的基本思路。

例一：查詢的點（2.1,3.1）（較簡單）。

1、如圖3所示，星號表示要查詢的點（2.1,3.1）。通過二叉搜索，順著搜索路徑很快就能找到最鄰近的近似點，也就是葉子節點（2,3）。

2、而找到的葉子節點并不一定就是最鄰近的，最鄰近肯定距離查詢點更近，應該位于以查詢點為圓心且通過葉子節點的圓域內。

3、為了找到真正的最近鄰，還需要進行'回溯'操作：

             算法沿搜索路徑反向查找是否有距離查詢點更近的數據點。

此例中先從（7,2）點開始進行二叉查找，然后到達（5,4），最后到達（2,3），此時搜索路徑中的節點為<（7,2），（5,4），（2,3）>，

首先以（2,3）作為當前最近鄰點，計算其到查詢點（2.1,3.1）的距離為0.1414，

然后回溯到其父節點（5,4），并判斷在該父節點的其他子節點空間中是否有距離查詢點更近的數據點。以（2.1,3.1）為圓心，以0.1414為半徑畫圓，如圖3所示。發現該圓并不和超平面y = 4交割，因此不用進入（5,4）節點右子空間中去搜索。

4、最后，再回溯到（7,2），以（2.1,3.1）為圓心，以0.1414為半徑的圓更不會與x = 7超平面交割，因此不用進入（7,2）右子空間進行查找。至此，搜索路徑中的節點已經全部回溯完，結束整個搜索，返回最近鄰點（2,3），最近距離為0.1414。

                                      圖3

例二：查找點為（2，4.5）（叫復雜一點）。

一個復雜點了例子如查找點為（2，4.5）。

1、同樣先進行二叉查找，先從（7,2）查找到（5,4）節點，在進行查找時是由y = 4為分割超平面的，由于查找點為y值為4.5，因此進入右子空間查找到（4,7），形成搜索路徑<（7,2），（5,4），（4,7）>，

2、取（4,7）為當前最近鄰點，計算其與目標查找點的距離為3.202。然后回溯到（5,4），計算其與查找點之間的距離為3.041。

       （（4,7）與目標查找點的距離為3.202，而（5,4）與查找點之間的距離為3.041，所以（5,4）為查詢點的最近點；）

3、以（2，4.5）為圓心，以3.041為半徑作圓，如圖4所示。可見該圓和y = 4超平面交割，所以需要進入（5,4）左子空間進行查找。此時需將（2,3）節點加入搜索路徑中得<（7,2），（2,3）>。

4、回溯至（2,3）葉子節點，（2,3）距離（2,4.5）比（5,4）要近，所以最近鄰點更新為（2，3），最近距離更新為1.5。

5、回溯至（7,2），以（2,4.5）為圓心1.5為半徑作圓，并不和x = 7分割超平面交割，如圖5所示。

至此，搜索路徑回溯完。返回最近鄰點（2,3），最近距離1.5。

                   圖4                                                                         圖5

k-d樹查詢算法的簡要說明：

來自： http://blog.csdn.net//u011067360/article/details/23934361