K-means聚類算法

背景

K-means也是聚類算法中最簡單的一種了，但是里面包含的思想卻是不一般。最早我使用并實現這個算法是在學習韓爺爺那本數據挖掘的書中，那本書比較注重應用。看了Andrew Ng的這個講義后才有些明白K-means后面包含的EM思想。

聚類屬于無監督學習，以往的回歸、樸素貝葉斯、SVM等都是有類別標簽y的，也就是說樣例中已經給出了樣例的分類。而聚類的樣本中卻沒有給定y， 只有特征 x，比如假設宇宙中的星星可以表示成三維空間中的點集。聚類的目的是找到每個樣本x潛在的類別y，并將同類別y的樣本x放在一起。比如上面的星星，聚類后 結果是一個個星團，星團里面的點相互距離比較近，星團間的星星距離就比較遠了。

在聚類問題中，給我們的訓練樣本是，每個，沒有了y。

算法

K-means算法是將樣本聚類成k個簇(cluster)，具體算法描述如下：

1、 隨機選取k個聚類質心點(cluster centroids)為。

2、 重復下面過程直到收斂 {

對于每一個樣例i，計算其應該屬于的類

對于每一個類j，重新計算該類的質心

K 是我們事先給定的聚類數，代表樣例i與k個類中距離最近的那個類，的值是1到k中的一個。質心代表我們對屬于同一個類的樣本中心點的猜測，拿星團模型來解 釋就是要將所有的星星聚成k個星團，首先隨機選取k個宇宙中的點(或者k個星星)作為k個星團的質心，然后第一步對于每一個星星計算其到k個質心中每一個 的距離，然后選取距離最近的那個星團作為，這樣經過第一步每一個星星都有了所屬的星團;第二步對于每一個星團，重新計算它的質心(對里面所有的星星坐標求 平均)。重復迭代第一步和第二步直到質心不變或者變化很小。

下圖展示了對n個樣本點進行K-means聚類的效果，這里k取2。

K-means面對的第一個問題是如何保證收斂，前面的算法中強調結束條件就是收斂，可以證明的是K-means完全可以保證收斂性。下面我們定性的描述一下收斂性，我們定義畸變函數(distortion function)如下：

J 函數表示每個樣本點到其質心的距離平方和。K-means是要將J調整到最小。假設當前J沒有達到最小值，那么首先可以固定每個類的質心，調整每個樣例的 所屬的類別來讓J函數減少，同樣，固定，調整每個類的質心也可以使J減小。這兩個過程就是內循環中使J單調遞減的過程。當J遞減到最小時，和c也同時收 斂。(在理論上，可以有多組不同的和c值能夠使得J取得最小值，但這種現象實際上很少見)。

由于畸變函數J是非凸函數，意味著我們不能保證取得的最小值是全局最小值，也就是說k-means對質心初始位置的選取比較感冒，但一般情況下 k- means達到的局部最優已經滿足需求。但如果你怕陷入局部最優，那么可以選取不同的初始值跑多遍k-means，然后取其中最小的J對應的和c輸出。

K-means與EM

下面累述一下K-means與EM的關系，首先回到初始問題，我們目的是將樣本分成k個類，其實說白了就是求每個樣例x的隱含類別y，然后利用隱 含類別將x 歸類。由于我們事先不知道類別y，那么我們首先可以對每個樣例假定一個y吧，但是怎么知道假定的對不對呢?怎么評價假定的好不好呢?我們使用樣本的極大似 然估計來度量，這里是就是x和y的聯合分布P(x,y)了。如果找到的y能夠使P(x,y)最大，那么我們找到的y就是樣例x的最佳類別了，x順手就聚類 了。但是我們第一次指定的y不一定會讓P(x,y)最大，而且P(x,y)還依賴于其他未知參數，當然在給定y的情況下，我們可以調整其他參數讓 P(x,y)最大。但是調整完參數后，我們發現有更好的y可以指定，那么我們重新指定y，然后再計算P(x,y)最大時的參數，反復迭代直至沒有更好的y 可以指定。

這個過程有幾個難點，第一怎么假定y?是每個樣例硬指派一個y還是不同的y有不同的概率，概率如何度量。第二如何估計P(x,y)，P(x,y)還可能依賴很多其他參數，如何調整里面的參數讓P(x,y)最大。這些問題在以后的篇章里回答。

這里只是指出EM的思想，E步就是估計隱含類別y的期望值，M步調整其他參數使得在給定類別y的情況下，極大似然估計P(x,y)能夠達到極大值。然后在其他參數確定的情況下，重新估計y，周而復始，直至收斂。

上面的闡述有點費解，對應于K-means來說就是我們一開始不知道每個樣例對應隱含變量也就是最佳類別。最開始可以隨便指定一個給它，然后為了 讓 P(x,y)最大(這里是要讓J最小)，我們求出在給定c情況下，J最小時的(前面提到的其他未知參數)，然而此時發現，可以有更好的(質心與樣例距離最 小的類別)指定給樣例，那么得到重新調整，上述過程就開始重復了，直到沒有更好的指定。這樣從K-means里我們可以看出它其實就是EM的體現，E步是 確定隱含類別變量，M步更新其他參數來使J最小化。這里的隱含類別變量指定方法比較特殊，屬于硬指定，從k個類別中硬選出一個給樣例，而不是對每個類別賦 予不同的概率。總體思想還是一個迭代優化過程，有目標函數，也有參數變量，只是多了個隱含變量，確定其他參數估計隱含變量，再確定隱含變量估計其他參數， 直至目標函數最優。