機器學習六--K-means聚類算法
機器學習六--K-means 聚類算法
想想常見的分類算法有決策樹、Logistic 回歸、 SVM 、貝葉斯等。 分類作為一種監督學習方法，要求必須事先明確知道各個類別的信息，并且斷言所有待分類項都有一個類別與之對應。但是很多時候上述條件得不到滿足，尤其是在處理海量數據的時候，如果通過預處理使得數據滿足分類算法的要求，則代價非常大，想想如果給你50 個 G 這么大的文本，里面已經分好詞，這時需要將其按照給定的幾十個關鍵字進行劃分歸類，監督學習的方法確實有點困難，而且也不劃算，前期工作做得太多了。
這時候可以考慮使用聚類算法，我們只需要知道這幾十個關鍵字是什么就可以了。聚類屬于無監督學習，相比于分類，聚類不依賴預定義的類和類標號的訓練實例。本文首先介紹聚類的基礎——距離與相異度，然后介紹一種常見的聚類算法—— K-means聚類 。
在正式討論聚類前，我們要先弄清楚一個問題：如何定量計算兩個可比較元素間的相異度。前面的這些知識弄懂了，加上K-means的定義，基本上就可以大概理解K-means的算法了，不算一個特別難的算法。用通俗的話說，相異度就是兩個東西差別有多大，例如人類與章魚的相異度明顯大于人類與黑猩猩的相異度，這是能我們直觀感受到的。但是，計算機沒有這種直觀感受能力，我們必須對相異度在數學上進行定量定義。
設X={x1,x2,x3,,,,xn},Y={y1,y2,y3,,,,yn} ，其中X，Y是兩個元素項，各自具有n個可度量特征屬性，那么 X和Y的相異度定義為：d=(X,Y)=f(X,Y)->R，其中R為實數域。也就是說相異度是兩個元素對實數域的一個映射，所映射的實數定量表示兩個元素的相異度。
下面介紹不同類型變量相異度計算方法。
標量
標量也就是無方向意義的數字，也叫標度變量。現在先考慮元素的所有特征屬性都是標量的情況。例如，計算X={2,1,102}和Y={1,3,2}的相異度。一種很自然的想法是用兩者的歐幾里得距離來作為相異度，歐幾里得距離的定義如下：
其意義就是兩個元素在歐氏空間中的集合距離，因為其直觀易懂且可解釋性強，被廣泛用于標識兩個標量元素的相異度。將上面兩個示例數據代入公式，可得兩者的歐氏距離為：
除歐氏距離外，常用作度量標量相異度的還有曼哈頓距離和閔可夫斯基距離，兩者定義如下：
曼哈頓距離： 
閔可夫斯基距離： 
歐氏距離和曼哈頓距離可以看做是閔可夫斯基距離在p=2和p=1下的特例。
0-1規格化
下面要說一下標量的規格化問題。上面這樣計算相異度的方式有一點問題，就是取值范圍大的屬性對距離的影響高于取值范圍小的屬性。例如上述例子中第三個屬性的取值跨度遠大于前兩個，這樣不利于真實反映真實的相異度，為了解決這個問題，一般要對屬性值進行規格化。所謂規格化就是將各個屬性值按比例映射到相同的取值區間，這樣是為了平衡各個屬性對距離的影響。通常將各個屬性均映射到[0,1]區間，映射公式為：
其中max(ai)和min(ai)表示所有元素項中第i個屬性的最大值和最小值。例如，將示例中的元素規格化到[0,1]區間后，就變成了X’={1,0,1}，Y’={0,1,0}，重新計算歐氏距離約為1.732。
二元變量
所謂二元變量是只能取0和1兩種值變量，有點類似布爾值，通常用來標識是或不是這種二值屬性。對于二元變量，上一節提到的距離不能很好標識其相異度，我們需要一種更適合的標識。一種常用的方法是用元素相同序位同值屬性的比例來標識其相異度。
設有X={1,0,0,0,1,0,1,1}，Y={0,0,0,1,1,1,1,1}，可以看到，兩個元素第2、3、5、7和8個屬性取值相同，而第1、4和6個取值不同，那么相異度可以標識為3/8=0.375。一般的，對于二元變量，相異度可用“取值不同的同位屬性數/單個元素的屬性位數”標識。
上面所說的相異度應該叫做對稱二元相異度。現實中還有一種情況，就是我們只關心兩者都取1的情況，而認為兩者都取0的屬性并不意味著兩者更相似。例如在根據病情對病人聚類時，如果兩個人都患有肺癌，我們認為兩個人增強了相似度，但如果兩個人都沒患肺癌，并不覺得這加強了兩人的相似性，在這種情況下，改用“取值不同的同位屬性數/(單個元素的屬性位數-同取0的位數)”來標識相異度，這叫做非對稱二元相異度。如果用1減去非對稱二元相異度，則得到非對稱二元相似度，也叫Jaccard系數，是一個非常重要的概念。
分類變量
分類變量是二元變量的推廣，類似于程序中的枚舉變量，但各個值沒有數字或序數意義，如顏色、民族等等，對于分類變量，用“取值不同的同位屬性數/單個元素的全部屬性數”來標識其相異度。
序數變量
序數變量是具有序數意義的分類變量，通常可以按照一定順序意義排列，如冠軍、亞軍和季軍。對于序數變量，一般為每個值分配一個數，叫做這個值的秩，然后以秩代替原值當做標量屬性計算相異度。
向量
對于向量，由于它不僅有大小而且有方向，所以閔可夫斯基距離不是度量其相異度的好辦法，一種流行的做法是用兩個向量的余弦度量，這個應該大家都知道吧，其度量公式為：
其中||X||表示X的歐幾里得范數。要注意，余弦度量度量的不是兩者的相異度，而是相似度！
什么是聚類？
所謂聚類問題，就是給定一個元素集合D，其中每個元素具有n個可觀察屬性，使用某種算法將D劃分成k個子集，要求每個子集內部的元素之間相異度盡可能低，而不同子集的元素相異度盡可能高。其中每個子集叫做一個 簇 。
與分類不同，分類是示例式學習，要求分類前明確各個類別，并斷言每個元素映射到一個類別，而聚類是觀察式學習，在聚類前可以不知道類別甚至不給定類別數量，是無監督學習的一種。目前聚類廣泛應用于統計學、生物學、數據庫技術和市場營銷等領域，相應的算法也非常的多。本文僅介紹一種最簡單的聚類算法—— k均值（k-means）算法 。
k均值算法的計算過程非常直觀：
1、從D中隨機取k個元素，作為k個簇的各自的中心。
2、分別計算剩下的元素到k個簇中心的相異度，將這些元素分別劃歸到相異度最低的簇。
3、根據聚類結果，重新計算k個簇各自的中心，計算方法是取簇中所有元素各自維度的算術平均數。
4、將D中全部元素按照新的中心重新聚類。
5、重復第4步，直到聚類結果不再變化。
6、將結果輸出。
時間復雜度：O(T*n*k*m)
空間復雜度：O(n*m)
n:元素個數，k:第一步中選取的元素個數，m:每個元素的特征項個數，T:第5步中迭代的次數
參考：
T2噬菌體（很多理解都是借鑒這位大牛的，還在閱讀學習TA的其他博文）
總結
接下來的目標就是Logistic回歸、SVM。之前看過很多遍有關這兩個算法的博客，但是理解還是不夠深入，繼續學習，希望有所收獲。