基于Otsu算法的圖像自適應閾值分割

在圖像處理實踐中，將灰度圖轉化為二值圖是非常常見的一種預處理手段。在Matlab中，可以使用函數BW = im2bw(I, level)來將一幅灰度圖 I ，轉化為二值圖。其中，參數level是一個介于0~1之間的值，也就是用于分割圖像的閾值。默認情況下，它可取值是0.5。

現在問題來了，有沒有一種根據圖像自身特點來自適應地選擇閾值的方法呢？答案是肯定的！我們今天就來介紹其中最為經典的Otsu算法（或稱大津算法）。該算法由日本科學家大津展之（Nobuyuki Otsu）于1979年提出。這個算法看似簡單，卻與統計分析中的“方差分析”方法有很深的淵源。有興趣的讀者也可以參考算法原文《 A threshold selection method from gray-level histograms》（在線瀏覽地址：http://wenku.baidu.com/view/996e972d7375a417866f8f5d）我們今天在介紹該算法原理的基礎之上，通過簡單的Matlab代碼來演示它的實現。

Matlab的幫助信息中指出：To compute the level argument,you can use the function graythresh. The graythresh function uses Otsu's method。可見，函數 graythresh ()就是Matlab中的大津法實現。如果對Otsu算法的原理并不感興趣，完全可以直接調用 graythresh () 函數 ，而無需過多關系其中的技術細節 。

在大津法中，我們定義組內方差為

通過選擇使得上述 組內方差 最小化時的閾值 t ，就可以使得圖像中的前景和背景盡可能的被區別開（假設我們將最終圖像里被分開的兩部分稱為前景和背景）。 w 0 和 w 1 分別是一個像素可能屬于 前景或背景的概率，而 σ 表示兩個類別的方差。如果一個圖像的直方圖有L個等級（一般L=256），那么在給定 閾值 t 的情況下， w 0 和 w 1 分別定義為

大津展之證明最 小化 組內方差 （intra-class variance）與最大化組間方差（inter-class variance）是等價的，于是有

又因為（其中 μ 表示均值或期望）

可以推出

這個證明僅僅涉及一些算術上的推導，我簡單演示如下

最后我們給出在Matlab中實現的代碼，這個代碼的最初版本來自維基百科，為了與前面的公式中的標記相一致，我略有修改。

function level = otsu(histogramCounts, total)
sum0 = 0;
w0 = 0;
maximum = 0.0;
total_value = sum((0:255).histogramCounts');
for ii=1:256
    w0 = w0 + histogramCounts(ii);
    if (w0 == 0)
        continue;
    end
    w1 = total - w0;
    if (w1 == 0)
        break;
    end
    sum0 = sum0 +  (ii-1)  histogramCounts(ii);
    m0 = sum0 / w0;
    m1 = (total_value - sum0) / w1;
    icv = w0  w1  (m0 - m1) * (m0 - m1);
    if ( icv >= maximum )
        level = ii;
        maximum = icv;
    end
end

end</pre> 
 
上述函數中的參數histogramCounts是圖像的直方圖, total圖像的總像素數。來看下面這段調用上述函數的測試代碼。

>> img = imread('otsus_test.jpg');
>> [counts x] = imhist(img);
>> [m n] = size(img);
>> level = otsu(counts, m*n);
>> output = img;
>> output(output<level) = 0;
>> output(output>=level) = 255;
>> imshow(output)
 
 
首先給出原始圖像

  
然后是基于Otsu算法獲取的二值圖
  
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 更多有趣有用的圖像處理算法還可以參考我的 《數字圖像處理原理與實踐（Matlab版）》 
  
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