波斯公主選駙馬，她是這么利用大數據和算法找男人的
這是大學時的一道數學題。
我大學的專業是數學，有一次，教授給出了《波斯公主選駙馬》題，如下：
波斯公主到了適婚年齡，要選駙馬。候選男子 100 名，都是公主沒有見過的。百人以隨機順序，從公主面前逐一經過。每當一位男子在公主面前經過時，公主要么選他為駙馬，要么不選。如果選他，其余那些還沒有 登場的男子就都遣散回家，選駙馬的活動也 over 了。如果不選，當下這名男子就離開，也就是 pass 掉此人，下一人登場。被 pass 掉的，公主不可以反悔再從選。規則是，公主必須在這百人中選出一人做駙馬，也就是說，如果前 99 人公主都看不中的話，她必須選擇第 100 名男子為駙馬，不管他有多么丑陋。
任務是，給公主設計選擇方法，讓她有最高概率選到百人中最英俊的男子為駙馬。
說明一點是，沒有任何選擇方法能夠保證公主一定選擇到最帥的帥哥。對于任何選擇方法，總存在某些出場的順序，讓公主與帥哥錯過。所以，題目所問的，不是必勝的選法（因為不存在），而是概率最高的選法。
因為并不是要討論數學，我這里就直接給出答案了：最佳選法是 pass 掉最開始的 100/e 名男子（e = 2.718… 是自然對數，即 100/e 約等于 37）。但是記錄下這 37 名男子中最英俊者。之后魚貫而來的男子中，出現的第一位英俊程度超越所有前 37 人者，即為駙馬。如果人都走光了，也沒出現這么一位 Mr. Right，那么就只好選擇第 100 位男子。
這個最佳選法，后面有很有意思的數學推導。
正解后面的思考方法
數學的推論且不論，這個答案背后是一個可為廣泛應用的思考方法。公主選擇的難處在于她不知道這百人的英俊程度是怎樣分布的，是在怎樣一個范圍 內。所以她最佳的策略是，pass 掉最初 37 位男子，但是把他們看成一個有代表性的 sample，從而了解這百人相貌的大致分布。然后在這個認知的基礎上進行選擇。
真實的談情說愛當然不是一個簡單的選美。普通人也不能像波斯貴族那樣要誰有誰。但是思維方法共通。假如你是一位女生，第一次戀愛的時候，也許你 覺得男朋友不夠細膩，不解風情。但你無法判斷的是，是否天下男生大多如此，還是你特別倒霉碰到這樣的極品。你唯有試過三個五個后，才能夠對男性這個物種有 個全局的判斷。所以，當你和第一任男朋友分手后，大可不必悲天憫人，亦或對天下男人失望。正確的態度是：okay，我現在有一個 data point, 現在我來找些更多的 data points。
花多長時間學習？
找到多少 data points 才夠呢？換句話說我們學習到什么時候才能夠信任自己對世界的判斷？以下這個小故事中，我們可以看出大自然是怎么解決這個問題的。
1944 年冬天，二戰進入尾聲。德國人封鎖了荷蘭德占區的補給。1944-1945 年的冬天，被稱為”hunger winter”（饑餓的冬天）。有四百五十萬荷蘭人遭受饑餓，一萬八千人餓死。1945 年，德國戰敗，封鎖也隨之解除。
但這個饑餓冬天所帶來的影響卻一直留存到幾十年后。那些封鎖期間懷著孩子的婦女，她們肚子里發育中的胚胎，雖無知覺，也經歷了這場災難。幾十年后，當這些孩子成為 50 歲的中年人，科學家們發現他們會比之前，或者之后出生的荷蘭孩子都更肥胖，更容易有心血管疾病。
對此的一種解釋是，還在媽媽肚子里的時候，我們的身體就在學習這是怎樣一個世界：是個食物充足，衣食無憂的世界？還是一個有上頓沒下頓的世界？ 這些荷蘭饑荒那年出生的嬰兒，他們的身體學習到：“這是一個食物匱乏的世界”。哪怕他們成年之后，荷蘭已經是一個富余的發達國家，他們的身體還是不忘早年 饑餓的經歷，會盡力存儲脂肪，準備著下一個饑餓冬天的到來。結果就是這個人群更容易肥胖，并且更容易患有與肥胖相關的心血管疾病。
有意思的是，對食物豐富與否的學習，在 10 月懷胎中完成，居然之后幾十年也無法扭轉。這個學習的窗口，是我們的身體，我們的基因所決定的。孩子學東西快，是因為他們的身體和大腦就是 specialized 學習機器。有研究說，人腦中負責抽象思維的前額葉在 25 歲才定型。換句話說，25 歲以前，我們的思維，特別是那些高級的認知能力，還在不斷變化著。而這其中很多的變化，就來自我們的環境。這種變化，就是我們在學習我們所在的，到底是怎 樣一個世界；怎樣的思維和行為，是在這個世界上行得通的。
從人腦的發育看來，過了 25 歲，至少從生理上來說，這種學習就停止了。這個 deadline 取決于基因，而基因來源于千百萬年的進化。千百萬年中，人類的平均壽命是徘徊在 20-30 歲。這可能就是為什么我們的學習，從我們身體的設計上看來，是在 25 歲就截止了。
我們無法影響自己生理、身體上的學習，但是有些事情的學習，卻是我們可以影響的，而且應該去影響的。選擇怎樣的工作？居住在哪個城市？找什么樣 的伴侶？這些似乎不是應該匆匆忙忙，趕著一個 deadline （特別是 25 歲的 deadline）去決定的事情。你會進行很多比較，才決定購買一輛汽車或者房子。而工作、伴侶，這些更重要的決定，你當然要更多比較比較，了解一下你是 在怎樣的一個世界里，才做決定。
也許你 30 歲了，沒有婚配的對象，不喜歡正在做的工作，但有種種壓力期待你“別折騰，安頓下來”。這壓力可能來自于一個一直不給個人選擇的社會傳統，或者來自于一個 預期壽命只有 30 歲的進化壓力。但是這一切都變了：社會已經有越來越多的選擇余地，我們也可以預料之中的活到 80，90 歲。
也許你要認真考慮一下波斯公主的問題：我是否應該繼續收集 data points？還是已經到了要做終生決定的時候？
回到波斯公主的題目
波斯公主的題目至少還教了我們另一點，就是哪怕你的方法是最優，你也永遠不可能是每次都得到最英俊的駙馬。在最優化的選擇方法下，公主也只有 40% 左右的可能性選擇到最帥的男人。就是說，如果這樣選擇十次，每次這百名男子以隨機順序出現，其中有 6 次，公主都會選到不是最帥的駙馬。
生活就是有風險的，不可測的。這似乎是個打擊，但也是一種釋懷。盡人事，安天命。如果你按照一個正確的方法去做了，哪怕結果差強人意，這也并不是你的錯。
我學會的另一點是，如果我是作為被選的一方（就像那 100 名男子），timing 是至關重要的。以下是一個簡單的多的題目：
如果你是這百名男子中的一名，并且你能夠決定自己出場的名次，你會選擇在什么時候出場，以最大提高自己被選的概率？
答案是第 38 名。你不會選擇在 38 名之前，因為你被選的概率是零（假設我們的公主學過高等數學，知道最佳選法）。你也不會選擇后于 38，因為你前面每多一個人，就意味著多了一分公主選上他的機會。
如果你有一位意中人，你當然要努力去追求幸福，但你可能也要想一下，這是否是最好的 timing？
37% 法則“實測”
37% 法則的效果究竟如何呢？我們在計算機上編寫程序模擬了當 n = 30 時利用 37% 法則進行選擇的過程（如果 MM 始終未接受求愛者，則自動選擇最后一名求愛者）。編號越小的男生越次，編號為 30 的男生則表示最佳選擇。程序運行 10000 次之后，竟然有大約 4000 次選中最佳男生，可見 37% 法則確實有效啊。
計算機模擬 10000 次后得到的結果
這個問題由數學家 Merrill M. Flood 在 1949 首次提出，這個問題被他取名為“未婚妻問題”。這個問題的精妙之處在于，在微積分界叱咤風云的自然底數 e，竟也出人意料地出現在了這個看似與它毫不相關的問題中。不知道此問題發表后，Geek 男女間會不會多了一種分手的理由：不好意思，你是那 37% 的人??
如何求出最優的 k 值？
大數學家歐拉對一個神秘的數學常數 e ≈ 2.718 深有研究，這個數字和“拒人問題”竟然有著直接的聯系。
對于某個固定的 k，如果最適合的人出現在了第 i 個位置（k < i ≤ n），要想讓他有幸正好被 MM 選中，就必須得滿足前 i-1 個人中的最好的人在前 k 個人里，這有 k/(i-1) 的可能。考慮所有可能的 i，我們便得到了試探前 k 個男生之后能選中最佳男生的總概率 P (k)：
用 x 來表示 k/n的值，并且假設n充分大，則上述公式可以寫成：
對-x · ln x 求導，并令這個導數0，可以解出x的最優值，它就是歐拉研究的神秘常數的倒數——1/e！
也就是說，如果你預計求愛者有n個人，你應該先拒絕掉前n/e個人，靜候下一個比這些人都好的人。假設你一共會遇到大概 30 個求愛者，就應該拒絕掉前 30/e ≈ 30/2.718≈ 1 個求愛者，然后從第 12 個求愛者開始，一旦發現比前面 11 個求愛者都好的人，就果斷接受他。由于 1/e 大約等于 37%，因此這條愛情大法也叫做 37% 法則。
不過，37% 法則有一個小問題：如果最佳人選本來就在這 37% 的人里面，錯過這 37% 的人之后，她就再也碰不上更好的了。但在游戲過程中，她并不知道最佳人選已經被拒，因此她會一直癡癡地等待。也就是說，MM 將會有 37% 的概率“失敗退場”，或者以被迫選擇最后一名求愛者的結局而告終。
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