酷炫動圖：數學篇
你真的以為你懂三角函數嗎？
請聽題：三角函數既然是函數，那它的自變量和因變量都是什么？
圖片作者：LucasVB（1ucasvb）
從這張圖里可以很明顯看到，所謂正弦函數，其實就是圓上任意一點的y坐標（紅）和弧長（藍）之間的關聯。左圖的藍色弧長和右圖的藍線完全一樣。
而弧長又和弧度是完全對應的。為什么高中老師不肯用經典的 360 度角而一定要教你奇怪的“弧度”？就是因為這個對應。1 弧度就是長度為 1 個半徑的弧所對應的角，π弧度就是正好半個圓——相應的，之所以 sinπ=0，正是因為當藍線走了一個π（一個半圓）的時候，正好也走回到了 y = 0 的地方。
圖片作者：又是 LucasVB（1ucasvb）
那余弦函數呢？留給讀者作為練習——
圖片作者：還是 LucasVB（1ucasvb）
——別打了，我說還不行嗎……余弦函數就是圓上任意一點的x坐標和弧長之間的關聯，只不過在畫函數的時候，把圓上點的x坐標打了個彎，對應成了函數曲線上的y坐標，就像這張圖里的藍線那樣。
為了體現余弦函數的這個對應，我們也可以直接把函數本身豎過來，就成了這樣：
圖片來源未知，但畫得這么丑，肯定不是 LucasVB
當然，這種對應也可以用在其它幾何圖形上，只不過就不如圓那么美麗了，比如下面這個丑陋的心形。
圖片作者：當然是 LucasVB（1ucasvb）
要不為什么說圓是最完美的身材！（并不是）
極坐標的魔法
如何把直角坐標變成極坐標？看我的：
圖片作者：依然是 LucasVB（1ucasvb）……
這是什么黑魔法……
別急，聽我解釋，事情就是你看到的那樣：
首先我們需要把函數沿直線 y = x 翻轉。之所以要有這一步，是因為極坐標里我們很武斷地把 0 度定義在了朝右。如果 0 度是（更自然的）朝上，那就不需要這一步了。
然后，我們把Y軸折彎過來，直到它縮成一個點。成功！
思路是這樣的：直線在幾何上可以認為是具有無限直徑、無限曲率半徑的一個圓，永遠不向自身彎折。但如果我們逐漸降低曲率半徑，從無限一直降到 零，就等于是把Y軸變成一個逐漸縮小的圓、最后變成一個點。而原來直角坐標的“Y軸”所承載的信息，在轉換中就逐漸移交給了極坐標的“角度”。
正十七邊形尺規作圖
圖片作者：Aldoaldoz
正十七邊形可以用尺規作出來，這是高斯 1796 年 19 歲時證明的。這是正多邊形尺規作圖兩千年來頭一次有所突破——換句話說，上一次人們發現新的正多邊形尺規作圖法還是在古希臘。
但是，高斯本人實際上并不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法直到 1825 年才由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出，而上面的這個方法——“卡萊爾圓法”則要更晚。（猜猜這個卡萊爾是誰？托馬斯·卡萊爾。對，就是那個《法國大革命史》和《論英 雄、英雄崇拜與歷史上的英雄業績》的作者。）
那高斯怎么就知道正十七邊形是可以做出來的呢？因為他懂數學。他已經知道，如果一個正多邊形內角的三角函數能用加減乘除和開平方表達出來，那就 意味著這個正多邊形能用尺規做出來。（尺規等價于只使用圓和直線的交點作圖，直線的表達式是二元一次方程，圓的表達式是二元二次方程，所以只用到了加減乘 除和開平方。）而他又證明了，只要正多邊形的邊數n是費馬素數，那么就能這么表達。當時人們已經知道前五個費馬素數是3、5、17、257 和 65537，所以高斯等于一舉證明了這五種正多邊形都是尺規可做的。
不過，正三邊形（好吧，正三角形）和正五邊形人們早知道了，而正 257 邊形什么的做起來又太麻煩，所以最后正十七邊形成了最出名的。
那么正十七邊形的對應三角函數應該怎么表達？高斯的《算術研究》給出了結果：
參考資料
好吧你們可能發現了我是這位 LucasVB 的粉絲……他的網站見此 1ucasvb.tumblr.com。下期還會有他的動圖出場。