酷炫動圖：數學篇（3）
本期酷炫動圖，讓我們回到好久不見的數學主題。
本期動圖文件相對不是那么大，不過心疼流量的手機黨還是請迅速關閉此頁面。
直與彎
咦？一根直桿為什么能從彎曲的洞中穿過？
想想這其實不奇怪。這根桿是斜著的，桿中間的點離旋轉軸最近，因此對應的洞上的點離旋轉軸也最近；桿的兩邊離旋轉軸較遠，因此對應的洞上的點離旋轉軸也遠。所以，這個洞不會是直線，只會是一條曲線。
那這是什么曲線？感興趣的讀者可以自己動手算一算。答案是雙曲線。
把這個曲線繞旋轉軸旋轉一周，形成一個曲面，叫做單葉雙曲面。看看下圖你就會發現，這根桿所在直線是這個曲面的一部分：
對于一個曲面，如果經過曲面上的每一點都有一根直線在曲面上，我們就稱之為直紋曲面。圓柱面、圓錐面都是直紋曲面的例子，單葉雙曲面也是如此，只不過它上面的直線看起來不是那么顯而易見。單葉雙曲面還有一個神奇的地方：通過它上面的每一個點，都有兩條直線在曲面上。
圖片來自：Wiki Commons
這樣的特點使得單葉雙曲面在建筑當中也有特殊的應用，比如說俗稱“小蠻腰“的廣州新電視塔。
錄制者：Shadow（該模型實物位于西班牙瓦倫西亞科學博物館）
圓錐曲線
大家都知道，橢圓、拋物線、雙曲線這些曲線稱為“圓錐曲線”。但這個詞是怎么來的呢？
既然叫圓錐曲線，當然與圓錐有關。首先，我們來想象一個圓錐——確切地說，是一個圓錐面。它是一條直線繞與它相交（但不垂直）的另一條直線旋轉一周所形成的曲面。我們平常所見的圓錐體的側面，只是圓錐面的一部分。
然后，我們用一個平面去截它。平面與圓錐面相交之處，是一條曲線。由于整條曲線都在這個平面上，我們可以把它看作一個平面曲線。這便是圓錐曲 線。平面與圓錐的旋轉軸所成的角度不同，曲線就會變成不同的形狀：圓、橢圓、拋物線、雙曲線（其中圓可以看作是一種特殊的橢圓）。
對圓錐曲線的研究是從古希臘開始的。那時還沒有解析幾何，數學家研究圓錐曲線的時候，采用的就是上面的定義。古希臘數學家阿波羅尼奧斯就是從這樣的定義出發，寫下了八卷《圓錐曲線論》。
圖中還展示了一些圓錐曲線的退化情形：在平面經過圓錐的頂點的時候，圓錐曲線會變成一些兩條相交的直線，兩條重合的直線，或者一個點。
圖片來源：mathgifs
圓面積公式
圓面積公式 S =πr2大家都學過，你還記得課本中如何講解這個公式的推導嗎？在我當年學習的人教版的教材中，是把圓剪成了一個個小扇形，然后把它們近似地拼成一個長為πr，寬為r的矩形。扇形裁得越小，拼出來的東西也就越接近矩形，然后用矩形的面積公式就可以計算了。
而這里用了另一種辦法：把圓拆成一個個同心的細圓環。然后，把這些圓環展開，變成高為r，底邊長為2πr的的三角形。當然，這談不上是嚴謹的證明，但其中已經蘊含了一些微積分的思想。我們甚至可以利用類似于古希臘窮竭法的辦法，把它寫成一個相對嚴謹的證明。
圖片來源：matthen 戳這里可以看到原作者的 Mathematica 代碼。
無限雪花
“分形”這個詞大家可能已經見過很多次了。它的特點是自相似。比如說，上圖中的科赫曲線，它的局部放大之后和整體長得一模一樣。
那這樣的曲線是怎樣畫出來的呢？
我們先畫一條線段，然后把它三等分，將中間的那一段換成兩段同樣長的線段。這樣，我們就有了四條線段。對這四條線段也重復這一過程。每重復一 次，稱為一次迭代。無限地迭代下去之后，我們就得到了科赫曲線。當然，實際畫圖的時候，不可能真的無限迭代下去，常常只需要迭代有限多次，直到看不出區別 了為止。
Matrix67 在他的博客中也展示過科赫曲線的繪制過程：
在這里還可以看到一個三維的分形動圖，3D 眩暈者慎點。
圖片來源：functor.co
朱利亞集
這是另外一種分形——朱利亞集（Julia set）。什么是朱利亞集？我們首先固定一個常數C，對復平面上的一個點，不斷地重復進行變換z→z2+C。 這樣得到的一些點會越跑越遠，一直趨向于無窮；而另一些點則一直呆在原點附近，不會跑出一個有限范圍。第二類的點所構成的集合，就是朱利亞集。當常數C取 值不同時，畫出來的朱利亞集也會不同。上面的動圖就展示了在C變化時朱利亞集的變化。由這種方式生成的分形圖案被稱為“逃逸時間分形”。
但是，嚴格來說，上面所說的只是“填充”的朱利亞集（filled-in Julia set）。真正的朱利亞集是它的邊界，也就是上圖中的白色線條部分。前面所講的變換，只是一個二次多項式。對于“填充”的朱利亞集，這個概念可以推廣到一 般的多項式。對于真正的朱利亞集，還可以推廣到分式。
而真正的朱利亞集又有另外一種畫法：
圖片來自：blog.matthen.com
先選取一些點，然后對它們不斷地進行該變換的“逆變換”——準確的說法是取它們在這個變換下的原像，而一個點的原像往往不止一個。對變換z→z2+C來說，它的原像就是先減去常數C——在圖上看來就是平移；然后開平方根——一個數的平方根有兩個，在圖上看來是先扭一扭，再復制一個到下半平面。每一步都一個變兩個，因此出來的點會越來越多。這些點的極限便是朱利亞集。
圖片來源：Wiki Commons
布朗樹
這又是另外一種類型的分形——布朗樹，生成這種分形的過程，則叫做擴散限制聚集（Diffusion-limited aggregation，簡稱 DLA）。
這過程說起來也很簡單：我們有很多粒子和一枚“種子”，粒子在空間中隨機游走，但只要碰到種子就會在聚集它上面。種子上聚集的粒子越來越多，就會長成一棵有著錯綜復雜的結構的“大樹”。
科赫曲線和朱利亞集都很漂亮，但在日常生活中不太容易看到。布朗樹就不一樣了，我們可以在很多地方看到自然形成的布朗樹構造，比如說，在皮蛋上：
圖片來自：imgbuddy.com
（更多閱讀：#TIL#皮蛋上可以看到分形）
圖片來源：matthen 戳這里可以看到原作者的 Mathematica 代碼。
PS：和前幾期物理、化學的動圖相比，這期是不是少了點啥？嗯，下面就讓我們把危險評估這項給補上吧……
圖片來源：spikedmath.com 漢化：Ent
（編輯：窗敲雨）