高斯模糊的算法

        通常，圖像處理軟件會提供"模糊"（blur）濾鏡，使圖片產生模糊的效果。

        "模糊"的算法有很多種，其中有一種叫做"高斯模糊"（Gaussian Blur）。它將正態分布（又名"高斯分布"）用于圖像處理。

        本文介紹"高斯模糊"的算法，你會看到這是一個非常簡單易懂的算法。本質上，它是一種數據平滑技術（data smoothing），適用于多個場合，圖像處理恰好提供了一個直觀的應用實例。

        一、高斯模糊的原理

        所謂"模糊"，可以理解成每一個像素都取周邊像素的平均值。

        上圖中，2是中間點，周邊點都是1。

        "中間點"取"周圍點"的平均值，就會變成1。在數值上，這是一種"平滑化"。在圖形上，就相當于產生"模糊"效果，"中間點"失去細節。

        顯然，計算平均值時，取值范圍最大，"模糊效果"越強烈。

        上面分別是原圖、模糊半徑 3 像素、模糊半徑 10 像素的效果。模糊半徑越大，圖像就越模糊。從數值角度看，就是數值越平滑。

        接下來的問題就是，既然每個點都要取周邊像素的平均值，那么應該如何分配權重呢？

        如果使用簡單平均，顯然不是很合理，因為圖像都是連續的，越靠近的點關系越密切，越遠離的點關系越疏遠。因此，加權平均更合理，距離越近的點權重越大，距離越遠的點權重越小。

        二、正態分布的權重

        正態分布顯然是一種可取的權重分配模式。

        在圖形上，正態分布是一種鐘形曲線，越接近中心，取值越大，越遠離中心，取值越小。

        計算平均值的時候，我們只需要將"中心點"作為原點，其他點按照其在正態曲線上的位置，分配權重，就可以得到一個加權平均值。

        三、高斯函數

        上面的正態分布是一維的，圖像都是二維的，所以我們需要二維的正態分布。

        正態分布的密度函數叫做"高斯函數"（Gaussian function）。它的一維形式是：

        其中，μ是x的均值，σ是x的方差。因為計算平均值的時候，中心點就是原點，所以μ等于0。

        根據一維高斯函數，可以推導得到二維高斯函數：

        有了這個函數 ，就可以計算每個點的權重了。

        四、權重矩陣

        假定中心點的坐標是（0,0），那么距離它最近的 8 個點的坐標如下：

        更遠的點以此類推。

        為了計算權重矩陣，需要設定σ的值。假定σ=1.5，則模糊半徑為 1 的權重矩陣如下：

        這 9 個點的權重總和等于0.4787147，如果只計算這 9 個點的加權平均，還必須讓它們的權重之和等于1，因此上面 9 個值還要分別除以0.4787147，得到最終的權重矩陣。

        五、計算高斯模糊

        有了權重矩陣，就可以計算高斯模糊的值了。

        假設現有 9 個像素點，灰度值（0-255）如下：

        每個點乘以自己的權重值：

        得到

        將這 9 個值加起來，就是中心點的高斯模糊的值。

        對所有點重復這個過程，就得到了高斯模糊后的圖像。如果原圖是彩色圖片，可以對 RGB 三個通道分別做高斯模糊。

        六、邊界點的處理

        如果一個點處于邊界，周邊沒有足夠的點，怎么辦？

        一個變通方法，就是把已有的點拷貝到另一面的對應位置，模擬出完整的矩陣。

        七、參考文獻

        * How to program a Gaussian Blur without using 3rd party libraries