泊松分布和指數分布：10分鐘教程
作者： 阮一峰
大學時，我一直覺得統計學很難，還差點掛科。
工作以后才發現，難的不是統計學，而是我們的教材寫得不好。比起高等數學，統計概念其實很容易理解。
我舉一個例子，什么是泊松分布和指數分布？恐怕大多數人都說不清楚。
我可以在 10 分鐘內，讓你毫不費力地理解這兩個概念。
一、泊松分布
日常生活中，大量事件是有固定頻率的。
- 某醫院平均每小時出生 3 個嬰兒
- 某公司平均每 10 分鐘接到 1 個電話
- 某超市平均每天銷售 4 包 xx 牌奶粉
- 某網站平均每分鐘有 2 次訪問 </ul>
- 嬰兒出生的時間間隔
- 來電的時間間隔
- 奶粉銷售的時間間隔
- 網站訪問的時間間隔 </ul>
它們的特點就是，我們可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。已知平均每小時出生 3 個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？
有可能一下子出生 6 個，也有可能一個都不出生。這是我們沒法知道的。
泊松分布就是描述某段時間內，事件具體的發生概率。
上面就是泊松分布的公式。等號的左邊，P 表示概率，N表示某種函數關系，t 表示時間，n 表示數量，1 小時內出生 3 個嬰兒的概率，就表示為 P (N(1) = 3) 。等號的右邊，λ 表示事件的頻率。
泊松分布的圖形大概是下面的樣子。
可以看到，在頻率附近，事件的發生概率最高，然后向兩邊對稱下降，即變得越大和越小都不太可能。每小時出生 3 個嬰兒，這是最可能的結果，出生得越多或越少，就越不可能。
接下來兩個小時，一個嬰兒都不出生的概率是 0.25%，基本不可能發生。
接下來一個小時，至少出生兩個嬰兒的概率是 80%。
二、指數分布
指數分布描述事件發生間隔的概率。下面這些都屬于指數分布。
指數分布的公式可以從泊松分布推斷出來。如果下一個嬰兒至少要間隔時間 t 才會出生，那就等同于時間 t 之內沒有任何嬰兒出生。
反過來，事件會在時間 t 之內發生的概率，就是 1 減去上面的值。
指數分布的圖形大概是下面的樣子。
可以看到，隨著間隔時間變長，事件的發生概率急劇下降，呈指數式衰減。想一想，如果每小時平均出生 3 個嬰兒，上面已經算過了，下一個嬰兒間隔 2 小時才出生的概率是 0.25%，那么間隔 3 小時、間隔 4 小時的概率，是不是更接近于0？
接下來 15 分鐘，會有嬰兒出生的概率是 52.76%。
接下來的 15 分鐘到 30 分鐘，會有嬰兒出生的概率是 24.92%。
三、總結
泊松分布和指數分布，都有一個前提，那就是事件之間不能有關聯，必須是獨立事件，否則就不能運用上面的公式。
一句話總結：泊松分布是單位時間內獨立事件發生次數的概率分布，指數分布是獨立事件的時間間隔的概率分布。
[說明] 本文受到 nbviewer 文檔的啟發。
（正文完）