網格去噪算法（L0 Minimization）

[He et al. 2013]文章提出了一種基于L ₀ 范數最小化的三角網格去噪算法。該思想最初是由[Xu et al. 2011]提出并應用于圖像平滑，假設c為圖像像素的顏色向量，▽c為顏色向量的梯度，設置目標函數為：min _c |c – c*| ² + |▽c| ₀ ，其中|▽c| ₀ 為▽c的L ₀ 范數，c*為原始圖像的顏色向量。通過引入輔助變量δ，優化函數變為：min _{c, δ} |c – c*| ² + β|▽c – δ| ² + λ|δ| ₀ ，其中λ用于控制最終圖像的平滑程度。優化過程分兩步：第一步固定c優化δ，即min _δ β|▽c – δ| ² + λ|δ| ₀ ；第二步固定δ優化c，即min _c |c – c*| ² + β|▽c – δ| ² 。然后循環迭代這兩步，每次迭代中β乘以2，使得最終▽c ≈ δ。

當將L ₀ 范數最小化的思想應用于三角網格去噪時，網格頂點坐標p可以代替c，但是還需要設置一個離散微分算子來代替▽c，其滿足網格平坦區域值為0，其中一個選擇就是離散Laplacian算子。文章提出了一種應用于網格邊的微分算子D(e)，其表達式為：

但是當有角度接近0時，微分算子的權重會變成inf，因此文章又提出了一種優化后的微分算子表達式：

微分算子D(e)中的符號說明

對于非均勻噪聲網格，文章在優化過程中加入了正則化項R(e) = (p ₁ – p ₂ + p ₃ – p ₄ ) ² ，于是優化目標變為：min _{p, δ} |p – p*| ² + α|R(p)| ² + β|D(p) – δ| ² + λ|δ| ₀ ，其中p*為初始網格頂點坐標，D(p)代表與p相關的表達式，其第i項對應第i條邊的微分算子，R(p)的第i項對應第i條邊的正則項。同樣優化過程分兩步：第一步固定p優化δ，即min _δ β|D(p) – δ| ² + λ|δ| ₀ ，當 ，δ _i = 0，否則δ _i = D _i ；第二步固定δ優化p，即min _p |p – p*| ² + α|R(p)| ² + β|D(p) – δ| ² ，相當于求解稀疏矩陣方程組。然后循環迭代上述兩個步驟直到達到預定條件。

效果：

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參考文獻：

[1] Lei He and Scott Schaefer, "Mesh denoising via L0 minimization," ACM Trans. Graph. 32, 4, Article 64 (July 2013), 8 pages, 2013.
[2] Li Xu, Cewu Lu, Yi Xu, and Jiaya Jia, "Image smoothing via L0 gradient minimization," In Proceedings of the 2011 SIGGRAPH Asia Conference (SA '11). ACM, New York, NY, USA, , Article 174 , 12 pages, 2011.