10 連抽保底的概率模型

網游里有很多抽卡、開箱子之類的賭性玩法，在最開始，游戲設計者實現的時候，僅僅給這些抽取概率簡單的設置了一個值。比如抽卡抽出橙卡的概率是 10% ，那么就是說，玩家每次抽一張卡，有 90% 的可能是白卡，10% 的可能是橙卡。

但大 R 玩家是大爺，需要小心伺候。如果感受不好，人跑了就虧大了。概率這個東西靠改進偽隨機數發生器是解決不了體驗問題的，大爺要是連抽 20 張都出不來橙卡，那是要怒刪游戲的。

連抽 20 張 10% 概率橙卡一張都抽不到的機會多不？一張抽不中的概率是 0.9 ，20 張都抽不中的概率是 0.9 ^20 = 12.2% 。這可不算小數字啊。平均 8 個大 R 就會碰到一次，一下子趕跑了 1/8 的金主，這個責任小策劃可擔當不起。

所以、一般網游都會用各種規則來避免玩家出現連抽不中的尷尬。例如，我忘記是誰發明的 10 連抽規則：如果你購買一個大包連抽 10 次，我在規則上就保證里面一定至少有一張橙卡。實現它應該并不困難，按常規概率生成 10 張的卡包，如果里面沒有橙卡，那么我加一張即可。

但如果我想把 10 抽保底的規則惠及日常抽卡的玩家該怎么做呢？

就是說，我希望任何玩家任何時候，接連抽了 10 張卡，我都想保證這 10 張卡里至少有一張橙卡。

首先，要說明的一點：如果你同時想保證橙卡掉落率是 10% ，也就是在極大范圍內，比如系統投放了一萬張卡片中，其中要有一千張橙卡。那么同時保證每 10 張卡里有至少一張橙卡的話，結果一定是完全不隨機的，也就是必須每抽 9 張白卡，必出一張橙卡。

所以、如果即想要隨機（出橙卡的概率穩定），又想有 10 張出一張的保底，那么橙卡投放量是一定超過 1/10 的。

我們之前的游戲用了個很粗暴的方案：記錄玩家已經連續幾次沒有抽中，如果連續次數超過 9 ，就必給他一張橙卡。為什么我說這個方案粗暴，因為它其實破壞了抽卡的自然體驗。雖然玩家的確更高興了，但是概率卻很不自然。不自然的方案（其實是生硬的打了個補丁）實現起來還容易出錯，我們前段時間就因為實現 bug 多發放了很多稀有物品，這個 bug 就不展開說了。

下面來看看，為什么這么做不自然。

假設橙卡的掉率是 10% ，那么你在獲得一張橙卡后，再抽下一張橙卡的概率就是 0.1 。下一張是白卡，再下一張是橙卡的概率是 0.9 * 0.1 ，下兩張是白卡，第三張是橙卡的概率是 0.9^2 * 0.1 ……

后續有 10 張及 10 張以上的概率總共有多少呢？我算了一下，大約是 35% 左右。

我們把抽到兩張橙卡之間會抽取到的白卡張數排成一個數列的話，這個數列的值的范圍是 0 到正無窮。是的，非洲酋長可能永遠抽不到橙卡。當然這只是理論值。

如果你讀過大學，學的是理工科，沒有逃課的話，就應該知道，這個數列是大致符合 指數分布 的。指數分布正是用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔的。

當我們把這個數列中大于 9 的數字都強行改成 9 ，那么 9 的出現頻率就陡然跳變，這是極不自然的。（分布不平滑）

從一致分布的隨機數，轉換為指數分布的隨機數非常簡單。

讓我們回答前面的問題，如果我希望獲得一個大約每 10 張卡里出一張橙卡的隨機數列，除了每次 random 一個 [0,10) 的整數，判斷證書是不是 0 以外，還有一個方法。那就是每次抽到一個橙卡后，都從一個指數分布的隨機數列中取一個值出來，作為接下來會抽取到白卡的張數。按這個張數去發放白卡，等計數器減到 0 ，就發一張橙卡給玩家。這個白卡張數的數值范圍是 [0, inf) 。

用 lua 實現的話，大概是這樣的：

math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate)) 其中 rate = 10 。

好了，如果我們想加上 10 張保底，又想讓間隔大致符合指數分布怎么辦？簡單：

function erand(rate)
    while true do
        local p = math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate))
        if p < rate then
            return p
        end
    end
end

讓產生出來的數字小于 10 的時候重來一次就好了。如果你擔心這里死循環（實際并不會），也可以加上循環上限：

function erand(rate)
    for i = 1, 100 do  -- 100 可以隨便寫
        local p = math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate))
        if p < rate then
            return p
        end
    end
    return rate-1
end

當然，一旦加上了 10 張保底，單張出橙卡的概率就大大增加了，增加到多少呢？大約是 21%。如果你希望保持 10% 左右的投放率，那么保底張數大約應該設置在 23 張左右。

ps. 今天在公司群里討論這個問題時，雷先生提了這么一個問題，說是可以用來做數值策劃的面試題：

已知橙卡的抽取率是 10% ，抽一次卡是 1 塊錢；而 10 連抽的包可以幫你按同樣概率連抽 10 次，但如果沒有抽到橙卡的話，系統會補償一張橙卡給你，換掉 10 張白卡中的一張。

假設白色一文不值，只有橙卡值錢。

那么請問：這個 10 連抽的包到底價值多少？

來自：http://blog.codingnow.com/2017/01/exponential_distribution.html